区间约束矩阵最优化问题有效算法及其应用研究

This project will studies the optimization problems with the element interval constraints matrices,the eigenvalue interval constraints matrices,the norm interval constraints matrices and the rank interval constraints matrices under the matrix equations and the matrix inequalities constraints in finance theory,signal and image processing,statistic analysis,systems control theory,and so on. .For the optimization problems with the element interval constraints matrices and the eigenvalue interval constraints matrices under the matrix equations and the matrix inequalities constraints. We start from reduce the computation quantity of algorithm and simplified algorithm structure,and through the full use of the theories and the methods in the matrix theory and the optimization theory. Designed the algorithms with the matrix special structure features do not change, fast convergence and stable to solve considered problems..For the optimization problems with the norm interval constraints matrices and the rank interval constraints matrices under the matrix equations and the matrix inequalities constraints. We consider transforming the nonconvex optimization problems into the equivalent convex optimization problems or through construct some new sovable subproblems, and, for mainly search direction, present some new correction methods. Designed the algorithms with fast convergence, stable and adapt to the different scale problems..Study the practical applications of the optimization problems with interval constraints matrices. We set up the new perturbation analysis theory and pretreatment correction technology to process ill-posed problems. Making validity and reliability analysis for the algorithms designed to solve practical problems.

本项目将致力研究源于金融理论、信号与图象处理、统计分析和系统控制等领域中的矩阵方程与矩阵不等式约束下元素区间约束、特征值区间约束、范数区间约束和秩区间约束矩阵最优化问题。.对矩阵方程与矩阵不等式约束下元素区间约束和特征值区间约束矩阵最优化问题。从减少算法计算量、简化算法结构的角度出发，充分利用矩阵理论和最优化理论中的有关理论和方法，设计出矩阵特殊结构特征不发生变化的、快速、稳定的计算方法。.对矩阵方程与矩阵不等式约束下范数区间约束和秩区间约束矩阵最优化问题。通过将非凸优化问题等价转化为可解凸优化问题或通过构造新的可解子问题，并对主搜索方向提出一些新的修正方法，设计出快速、稳定的，且能适应于不同问题规模的计算方法。.研究区间约束矩阵最优化问题的实际应用。建立新的扰动分析理论和预处理修正技术处理病态问题。对所设计的求解实际问题的计算方法进行有效性和可靠性分析。

本项目研究的结果包括五个方面的内容： (1) 结构约束矩阵方程及其最小二乘问题， (2) 矩阵元素区间约束和特征值区间约束矩阵方程问题， (3) 矩阵不等式约束矩阵方程问题,(4) 矩阵范数区间约束和秩区间约束矩阵方程问题，(5)非线性矩阵方程问题。在第一方面，利用Dykstra’s交替投影算法求解几类矩阵方程及其最小二乘问题，利用交替方向法求解来源于量子信息科学领域的一个问题。在第二方面，设计出了求解几类元素区间约束和特征值区间约束矩阵方程及其最小二乘问题的迭代算法，给出了说明算法有效性的数值例子。在第三方面，设计出了求解几类矩阵不等式约束下矩阵方程及其最小二乘问题的迭代算法，并给出了说明算法有效性的数值例子。在第四方面，主要讨论了矩阵方程AXB=C的范数约束最小二乘对称解问题；讨论了矩阵方程(A1*XA1+…+ Am*XAm)=C的范数约束最小二乘对称解问题；讨论了秩约束下最佳逼近问题min||A-X||的对称、反对称、中心对称、中心发对称、对称半正定、非负解等。在第五方面，讨论了非线性矩阵方程X+A*X-nA=Q的迭代解法问题。证明了当矩阵Q满足不等式给定的矩阵不等式时，则由迭代方法产生的矩阵序列{Xk}都包含只含有非线性矩阵方程的唯一的一个解的闭球里，并且收敛到这个闭球里的唯一的解，同时给出了矩阵方程在闭球里的唯一精确解与迭代解Xk的误差估计表达式。讨论了非线性矩阵方程X=Q+A1(B+X-1)-1A1*+…+ Am(B+X-1)-1Am*进行了讨论，给出了方程有解的一些新的充分必要条件，给出了计算解的迭代方法，证明迭代方法的收敛性，给出了说明算法有效性的数值例子。