多维弱奇异积分方程高效算法及相关应用

Many realistic scientific and engineering problems can be reduced to the multi-dimensional singular integral equations. In this project the mechanical quadrature method (MQM) will be used to improve the accuracy of numerical solutions for avoiding the drawbacks of the multi-dimensional singularities of the projection methods and the numerical instabilities of radial basis function method. The quadrature formulas for the multi-dimension weakly singular integral and the asymptotic expansion of errors can be established on the basis of quadrature formulas for the one dimension weakly singular integral, and then the weakly singular integral and the discrete matrix for multi-dimensional weakly singular integral equations can be calculated. An algorithm of fast and high accuracy will be proposed and it is proved effective for solving the multi-dimensional weakly singular integral equations. By means of splitting extrapolation and the domain decomposition methods, the approximate solutions with higher order accuracy and parallel level can be obtained and improved. Finally, we try to apply the theory obtained in the above to solve related problems in physics.

科学与工程计算中许多问题可归结于多维弱奇异积分方程的数值计算，使用投影法将受到多维奇异性效应的制约，用径向基函数法求解则受到解不稳定的限制。 本项采用边界元的一种新方法--机械求积法，通过这种方法数值求解多维弱奇异积分方程，预计可以很好地克服多维奇异效应，使数值解的精度大为提高。拟在一维弱奇异积分的求积公式基础上，建立多维弱奇异积分的高精度求积公式。进而计算弱奇异积分和弱积分方程相应的离散矩阵，然后建立解多维弱奇异积分方程的效算法，完善其可行性理论。借助分裂外推和区域分解，可得到误差的多参数渐进展开式和提高并行度。最后，利用这些已推导出的理论工具尝试解决一些实际的物理问题。

科学与工程计算中许多问题可归结于多维弱奇异积分方程的数值计算，用边界元方法数值求解这类问题主要工作是数值积分，其中寻求快速、有效的数值积分方法是改善边界元法精度的重要措施。本项采用了边界元的一种新方法--机械求积法，通过这种方法数值求解多维弱奇异积分方程，可以很好地克服多维奇异效应，使数值解的精度大为提高。本项目主要成果如下：（1）在Euler-Maclaurin展开式和一维弱奇异积分的求积公式的基础上，推导出了二维弱奇异积分的求积公式及其误差的渐进展开式；（2）对于二维Cauchy奇异积分，我们在一维Cauchy奇异积分的求积公式和Euler-Maclaurin展开式基础上，同样建立了相应的高精度求积公式；（3）计算了弱奇异积分方程对应的离散矩阵，为研究机械求积法应用于解多维弱奇异积分方程的可行性奠定了基础。这些结论和研究方法在一定程度上可以丰富积分方程数值解理论，同时也为我们后面的研究提供了重要的基础。