基于字典的信号自适应分解及应用研究

Adaptive signal decomposition and compressed sensing are hot topics in mathematicsand information science. In this project，we study adaptive decomposition ofsignals into mono-components. Mono-component signals are signals of non-negativeanalytic instantaneous frequencies which are meaningful in physics. Since theamplitude and phase are defined through analytic signals associated with real signals, real signals are automatically the real parts of analytic signals. It isnatural to study complex functions in Hardy Spaces.It seems that there are twoapproaches to achieve decomposition of signals into its mono-components. First,one would try to obtain a decomposition only based on the signal itself. As tothis filed, conformal mapping may play a crucial role. In the second approach, onecan seek for a large pool of mono-components and then try to decompose a signal by using the mono-components in the pool. In theory, we mainly study the following problems: the designation of adaptive decomposition algotithm, convergence, convergence rate, corresponding fast algorithm for discrete signals. In practice, we mainly study the following two applications of adaptive decomposition algorithm in compressed sensing: sparse representation of finite discrete signals; coherence and RIP constant of sensing matrix constructed by "nonlinear Fourier-atoms".

信号的自适应分解是数学与信息科学交叉领域研究的热点。本项目针对解析信号理论中瞬时频率取值在频谱之外的问题，探讨基于以单位Cauchy核函数为元素的字典下,自适应地把一个复杂的信号分解为单成分信号的叠加的问题。单成分信号是具有非负瞬时频率的解析信号。根据目标是模拟信号和离散信号两种情况,给出自适应分解算法的实现程序和相关理论证明。从而一方面克服解析信号瞬时频率在频谱之外的问题，另一方面将其应用于稀疏逼近，压缩感知等领域。理论上，本项目主要探讨自适应分解算法的设计、算法收敛性、收敛阶、对应的快速算法等问题。在应用上，本项目主要考虑自适应分解用于压缩感知理论中信号的稀疏表示问题和以“非线性Fourier原子”为元素的观测矩阵的相干性、限制等距性，给出稀疏信号由观测值恢复的一些充分条件。

本项目研究基于字典的信号自适应分解及应用问题。自傅里叶分析以来，信号分析与处理一直是数学与工程领域重点关注的问题，具有重要的理论意义与广泛的应用价值。以傅里叶分析为基本理论发展的加窗傅里叶分析和小波分析，都在努力寻求信号分析的时-频局部化和信号恢复的快速算法。本项目的研究背景基于两个方面：（1）实信号的谱具有对称性，只保留正频率部分的谱不会有信息损失，而与之对应的正是D.Gabor提出的解析信号。解析信号是实变量的复函数，也是单位圆内或上半平面解析函数的边值。因此，对实信号的分析可以转化为对解析函数的边值函数问题。（2）复杂信号分析的一个重要前提是要对信号做分解和表示，我们希望这种表示具有自适应性和稀疏性。.本项目主要研究内容包括以下几个方面：（1）定义在单位圆内Hardy空间中的解析函数自适应分解问题，主要考虑了p大于1且小于无穷的情形，所用字典为单位圆内标准化的Szego核函数。（2）定义在上半平面Hardy空间中的解析函数自适应分解问题，同样考虑了p>1的情形，所用字典为上半平面标准化的Szego核函数。（3）对于具有实傅里叶系数的解析信号，考虑了基于T-M系的展开问题。.过对以上内容的研究，我们得到的主要结果为：（1）基于单位化的Szego核字典，给出了单位圆内Hardy空间中函数的自适应分解算法，证明了当p大于1时逐步最优的存在性，并进一步证明了算法的收敛性。（2）给出了上半平面Hardy空间中函数的自适应分解算法，证明了当p大于等于2时逐步最优的存在性，并进一步证明了算法的收敛性。对p大于1小于2的情形，利用p等于2的结果，给出了基于T-M系的自适应算法及收敛性。（3）对于具有实傅里叶系数的解析信号，研究了基于T-M系的非负系数展开问题，证明了任意给定的具有实傅里叶系数的解析信号，在非常弱的条件下，对于任意大的前n项，总存在一组T-M系或基，能够使得展开系数为非负。进一步，对任意给定的在边界上具有一定光滑性的解析信号，总是存在一组T-M系，使得展开系数为非负。.本项目为信号分析与处理领域的基础理论研究，对于周期或定义在实直线上的解析信号，利用复分析，调和分析和泛函分析的知识，结合贪婪算法，研究信号的自适应分解问题和非负系数展开问题，将丰富解析信号分析的理论，同时，在信号的稀疏表示和相位恢复领域具有一定的应用前景。