有限阶Toda系统与旗流形分解

In this project, we will do a reduction from the bigraded Toda system in infinite-sized matrices to the Toda system in finite-sized Band matrices. We will further study the asymptotic behavior of the solution in terms of regular tau functions, i.e. the sorting property of solutions in finite-sized Band matrices.. We will further consider the Partial flag manifolds which correspond to the Toda system in finite-sized Band matrices. It is well-known that full Kostant-Toda system corresponds to the standard flag manifold, the Toda system in nonfull Hessenberg forms corresponds to the partial flag manifold. For the general Band matrices, what is the corresponding flag manifold and how to do the Schubert decomposition of the flag variety will be included in our project.. After this, we will also construct the moment map from finite-sized Band Toda system to polytopes and do analysis on the Toda flows and singularities.

本项目将从无穷阶矩阵形式的bigraded Toda系统约化到有限带状矩阵形式的Toda系统。 我们将从其正则tau函数的表示形式考虑其渐近行为，也就是给出有限带状矩阵解的Sorting 性质。. 我们还将考虑有限带状矩阵的谱问题对应的Partial旗流形刻化。众所周知，Full Kostant-Toda 系统对应着标准旗流形，Hessenberg形式的非满矩阵对应着Partial旗流形。对于一般的带状结构矩阵，对应着什么样的旗流形以及这样的旗流形的Bruhat分解将是我们本项目的研究内容之一。. 我们还将构造从有限阶bigraded Toda系统的tau函数到多面体的矩映射，在多面体上分析有限阶bigraded Toda系统的各种流的走向以及奇点等。

Toda系统是一类很重要的可积系统，在数学和物理领域都受到广泛关注。从无穷阶矩阵形式的bigradedToda系统约化到有限带状矩阵形式的Toda系统是比较有意思的问题。俄亥俄州立大学的Yuji Kodama教授，L. Casian教授以及加州伯克利分校的组合学专家 Lauren Willams在这方面开展了一系列的很好的研究，其中很多是可积系统和组合学的很好的交叉研究。目前国内虽然有些关于旗流形方面的优秀的研究成果，但是少有专家开展过旗流形 和可积系统这方面的交叉研究。本项目构造了从有限阶bigraded Toda系统的tau函数到多面体的矩映射，在多面体上分析有限阶bigraded Toda系统的各种流的走向以及奇点等。从bigraded Toda系统寻找合适的约化到有限Band矩阵形式的Toda系统，从其tau函数的表示形式用反散射方法考虑了其解的渐近行为。我们关于有限阶的Toda系统推广到了两分量耦合形式并研究了其等谱变换的反散射，同时我们关于不定度轨的情形也进行了研究。我们在Toda系统该方面的研究发表SCI论文十几篇，部分研究还在审稿中，对于研究无穷阶Toda系统和有限阶Toda系统的关系进行了很好的探索。我们除了初步完成了研究目标的部分内容外，还尝试研究bigraded Toda系统的B型和C型推广，我们还把拓展Toda系统推广到了Zn代数上乃至多分量，非交换系统上，并对这些系统的可积性开展了研究。