几种非线性理论的关联及在高维GP系统的应用研究

学术界近来相继提出了几种研究非线性系统的重要理论：约化理论、映射理论和变量分离理论，成功应用于低维非线性动力学系统。但是，对这三种非线性理论内在关联的研究，至今鲜有人涉及。如何把上述理论，有效应用于高维动力学系统则是当前学术界的研究热点。本项目通过上述几种非线性理论的深入研究，寻找三者之间的本质联系，并建立一种基于上述理论优点、综合运用的新方法，然后推广应用于高维系统，着重研究一类具有广泛应用背景的动力学系统Gross-Pitaevski(GP)系统的严格解、数值解、拓朴结构、激发模式，和相关动力学行为。通过本项目的研究，以较全面地认识和理解自然界激发模式中随机现象和有序现象的联系及其相互转换的控制规律，加深对高维动力学系统的认识，拓展非线性理论的应用范围。

近年来学术界相继提出了几种研究非线性系统的重要理论：约化理论、映射理论和变量分离理论，成功应用于低维非线性动力学系统。但对这三种非线性理论内在关联的研究，鲜有人涉及。如何把上述理论，有效应用于高维动力学系统为当前学术界的研究热点。本项目通过上述几种非线性理论的深入研究，寻找出三者之间的本质联系，建立一种基于上述理论优点、综合运用的新方法—自相似映射理论，推广应用于高维系统，着重研究一类具有广泛物理背景的动力学系统Gross-Pitaevski系统的严格解、数值解、拓朴结构、局域激发模式，巨波等相关动力学行为。具体的主要研究内容有.(1) 深入了解与本项目相关的研究现状，掌握重要的研究方法。分析构造各类相干拓朴结构的不同方法，发展适用于高维动力学系统的研究方法，特别是多线性分离变量方法、映射理论和对称约化方法。比较这些方法研究高维动力学系统所得到的局域激发的关联和方法上的优势。.(2) 探讨分析非线性动力学系统（如Gross-Pitaevski系统、广义Korteweg de Vries系统）严格解和数值解，寻找相关拓朴结构，重点放在新的激发模式或具有新演化行为的激发模式的研究.揭示它们可能所蕴涵新的动力学行为，如：相似波、蛇形波，多值波等..(3) 找到的相关相似子拓朴结构，用仿真图形动态分析和理论比对，深入探讨高维动力学系统的各种激发模式现象以及它们稳定性问题和相互作用规律等非线性性质. .(4) 将自相似映射理论推广到一般非线性（广义非自治动力学系统）的动力学系统，如：广义非自治Korteweg-de Vries动力学系统..本项目研究取得的主要标志性成果：.（A）基于分形理论和保结构算法思想的自相似映射理论提出及在广义Gross-Pitaevski波色凝聚动力学系统和广义Korteweg de Vries系统的应用研究。.（B）基于对称约化思想的广义映射理论推广应用到高维非自治、非线性动力学系统的应用研究。.通过本项目的研究，以较全面地认识和理解自然界激发模式中随机现象和有序现象的联系及其相互转换的规律，加深对高维动力学系统的认识，丰富和拓展非线性理论的应用范围。.