多项式序列的算术性质与有限Abel群上的子序列和

In this project, we shall mainly investigate arithmetic properties of a polynomial sequence and subsequence sums over finite abelian groups. The main contents are as follows: to explore the asymptotic behavior of the least common multiple of consecutive cubic progression terms; to study the smallest period problems of periodic arithmetic functions associated with the least common multiple of consecutive cubic progression terms; to investigate the asymptotic behavior of the least common multiple of consecutive quartic progression terms; to study the smallest period problems of periodic arithmetic functions associated with the least common multiple of consecutive quartic progression terms; to determine the exact value of subsequence-sums invariant for finite abelian group of rank 2; to explore Jaeger-Linial-Payan-Tarsi conjecture.

本项目主要研究多项式序列的算术性质和有限Abel群上的子序列和问题。主要内容包括：研究三次级数连续项的最小公倍数的渐近行为；研究与三次级数连续项的最小公倍数相关联的周期算术函数的最小正周期问题；研究四次级数连续项的最小公倍数的渐近行为；研究与四次级数连续项的最小公倍数相关联的最小正周期问题；确定秩为2的有限Abel群上的子序列和不变量 ；研究Jaeger-Linial-Payan-Tarsi猜想.

多项式序列的算术性质是组合数论中一个重要的研究课题，一直以来都受到许多数学工作者的关注. 本项目主要研究多项式序列的算术性质，特别地，我们主要研究了多项式序列的最小公倍数的算术性质以及在给定区间内拥有因子的多项式序列项的分布. 现将我们的主要研究内容与所取得的结果概述如下：1. 对于一般的非负整系数多项式序列，我们给出其前n项的最小公倍数一个新的一致下界。特别地，对于连续正整数的最小公倍数，我们改进了Nair与Farhi先前给出的下界. 对于一类特殊的二次多项式序列，我们改进并推广了Farhi与Oon得到的下界。 2. 对于一个严格单调递增的正整数序列，我们研究了其连续r项(2<r<8)项的最小公倍数的倒数和并给出其紧致的一致上界，同时我们对所有的可达到上述一致上界的序列给出了刻画。3. 为了尽可能多地掌握多项式序列的算术性质，我们研究了在一个给定的区间内拥有一个因子的多项式序列项的分布问题。设$F(x)$是首项系数为正的次数大于1的不可约的整系数多项式。设$x\ge z\ge y\ge 2$, 用$H_F(x,y,z)$表示不超过x且使得$F(n)$在区间$(y, z]$内至少含有一个因子的正整数的个数。项目负责人与伊利诺伊大学香槟分校的Kevin Ford教授合作对该问题进行了深入细致的研究，首先确定了$H_F(x, y,2y)$的量级。进一步地，设$c_0, c_1$ 为两个小于1的正数，当$y+y^{c_0}\le z\le x^{c_1}$ 时，我们已经完全确定了$H_F(x, y,z)$的量级。这部分地解决了Erdos与Schnzel于1990年提出的公开问题。