大波数麦克斯韦方程两类数值方法的预渐近误差分析研究

The wave scattering problem exists in many scientific, engineering and industry applications, e.g., the optics grating problem, clocking. However, the Maxwell’s operator is strongly indefinite for high wave number, which brings difficulties both in theoretical analysis and numerical simulation. Recently, effective numerical method for high frequency electromagnetic scattering problem has been one of the most popular problems in computational mathematics. The main purpose of this project is to investigate the pollution errors of numerical methods in solving high frequency electromagnetic scattering problem. Firstly, to overcome the difficulties in analysis the pollution error of edge element method for solving Maxwell’s scattering problem by traditional method, we will construct a new “comparison function” by using the solution of a definite Maxwell’s equation and use a modified “duality argument” to analyze the pre-asymptotic estimates of edge element method for Maxwell’s equation with large wave number. Secondly, we shall construct a PPR (Polynomial preserving recovery) solution for the edge finite element solution, and analyze the super-convergence of the curl of the PPR solution. The influence of PPR method on the pollution error will be intensively investigated. Finally, we will construct a hybridizable weak Galerkin method for Maxwell's scattering problem with large wave number to reduce the scale of linear algebraic equations obtained by numerical discretization .

在科学、工程和工业的诸多领域中都存在波散射问题，例如光栅问题、隐身斗篷问题等。然而当波数很大时，麦克斯韦算子是强非定的，这使得高频电磁散射问题的数值计算和理论分析都非常困难。高频电磁波散射问题有效数值解法研究是近几十年来计算数学界非常关心的问题。本项目旨在研究求解大波数麦克斯韦散射问题的两类数值方法的预渐近误差估计。首先，为克服传统分析手段难以得到hp棱元法求解大波数麦克斯韦问题的预渐近误差的难点，本项目将通过构造一个正定麦克斯韦问题的解作为比较函数，并利用一种改进的“对偶论证”技巧，分析棱有限元法求解高频电磁散射问题的预渐近误差。其次，设计一种适合于棱元法的PPR后处理格式，并分析重构所得旋度的超收敛性质及其对污染误差的影响。最后，将构造适合于大波数麦克斯韦散射问题的杂交弱伽略金方法，用以减少离散后所形成的线性代数方程组的规模。

在科学、工程和工业的诸多领域中都存在波散射问题，例如光栅问题、隐身斗篷问题等。然而当波数很大时，麦克斯韦算子是强非定的，这使得高频电磁散射问题的数值计算和理论分析都非常困难。本项目不仅系统开展了求解大波数麦克斯韦方程两类数值方法的理论分析，还研究了多种非线性方程线性化算法的收敛性，取得的研究成果相对丰富，实现了原定的研究计划。主要内容和相应贡献有四点，具体如下：1).通过构造一个正定麦克斯韦问题的解作为比较函数，并利用一种改进的“对偶论证”技巧，克服了传统的分析手段难以得到棱元法以及杂交若有限元方法求解大波数麦克斯韦问题的预渐近误差的难点，得到了棱有限元方法以及杂交弱有限元方法求解高频电磁散射问题的带显式波数的误差估计；2).系统开展了间断有限元方法求解非线性电磁场方程、Cole-Cole色散媒质中的电磁场方程以及波动方程的研究，不仅给出了相应格式的无条件稳定性和丰满误差估计，而且通过多个数值算例展示了所给出的理论分析的准确性；3).系统的研究了一类相场方程的线性化方法，建立了杂交间断有限元格式的无条件最优误差估计。本项目的完成不仅丰富了大波数麦克斯韦方程的数值研究，而且丰富了间断有限元方法的理论研究成果，在多个数值结果上展示了间断有限元方法的数值优势。