高波数Helmholtz方程的hp-内罚间断Galerkin方法的预渐近误差分析

In this project we shall consider some interior penalty hp-discontinuous Galerkin (hp-IPDG) methods for the Helmholtz equation with the first order absorbing boundary condition in two and three dimensions. The sesquilinear form contains penalty terms which not only penalize the jumps of the function values across the element edges but also the jumps of the first order tangential derivatives as well as jumps of all normal derivatives up to order p. Furthermore, to ensure the stability, the penalty parameters are taken as complex numbers with positive imaginary parts, so essentially and practically no constraint is imposed on the penalty parameters. By combining the stability and using a new modified duality argument, the key idea of the modified duality argument is to use some special designed elliptic projections in the step of duality argument so that we can obtain the -error estimate directly by the modified duality argument. The purpose of this project is twofold. First we improve the pre-asymptotic stability and error estimates of the interior penalty hp-discontinuous Galerkin (hp-IPDG) methods. Second, we try to give the relationship between the phase difference and pollution errors. Numerical tests are provided to verify the theoretical findings.

本项目考虑二维和三维区域上高波数Helmholtz散射问题的hp-内罚间断Galerkin方法,，该散射问题的边界条件取为一阶吸收边界条件。加罚思想的关键技术在于： 不仅对区域内部的单元边界上函数本身的跳量进行加罚， 而且对其( 阶)法向导数的跳量进行加罚,，并且加罚参数取为复数。 结合连续问题的稳定性估计，并利用一种“修改的对偶论证”技巧，其关键技术是在对偶论证步骤中引入特殊定义的椭圆投影并得出内罚间断Galerkin解的误差可以被椭圆投影和精确解之间的误差来控制， 从而在对偶论证步骤中直接得到内罚间断Galerkin解的误差估计，进一步改进hp-内罚间断Galerkin方法的预渐近稳定性和误差分析；试图给出相位差和污染误差的关系，并通过数值试验验证理论结果。

高波数散射问题的数值模拟在声波、电磁波、浅水波等领域有着重要应用.它的高效算法设计及理论分析是上个世纪遗留下来的著名公开问题[Zienkiewicz,2000]. 虽然这类问题的研究最近取得了一些突破性的进展, 但这一著名的公开问题目前仍然没有得到最终解决. 本报告的主要工作是讨论高波数Helmholtz问题的IPDG（间断内罚Galerkin）方法的预渐近误差估计和稳定性估计. 间断Galerkin(DG)方法最早出现于上个世纪70年代, 和连续有限元方法各有优缺点, 后者的自由度数目少, 但前者更灵活. 内罚DG(IPDG)方法是DG方法的一种, 与经典的IPDG方法相比, IPDG方法的双线性型不仅包含函数值在内部边或面的跳量的加罚, 还包含函数在内部边或面的法向导数(对于p元来说, 直到p阶方向导数)跳量的加罚. Feng和Wu（2011）发现通过高阶法向导数跳量的加罚可以大幅减少污染误差. 本报告结合Melenk和Sauter的工作（2010,2011）中给出的关于连续问题的稳定性估计, 应用Zhu和Wu(2013)提出的“修改的对偶论证”技巧改进Feng和Wu（2011）的hp-内罚间断Galerkin方法的预渐近稳定性和误差分析. 利用离散椭圆算子和离散Sobolev范数(见Du和Wu的工作[2014]), 并通过进一步改进对偶论证, 克服了Helmholtz方程的高度不定性, 证明了网格条件 下的预渐近误差和稳定性估计, 减少了数值解的污染误差并用数值实验说明这是可行的.