平均曲率流中自相似解问题

A very interesting and significant problem of mean curvature flow is the singularity analysis. In 1984, the study of the mean curvature flow from the perspective of partial differential equations commenced from Huisken’s paper，which achieved a breakthrough. After that, the mean curvature flow becomes a very popular international research field. In this project, we’ll study self-similar solution problems of the mean curvature flow. The specific content is: 1. Without the assumption of polynomial volume growth, we study complete self-shrinkers in higher codimension Euclidean space, and investigate whether the squred norm of the second fundamental form of complete self-shrinkers has a gap phenomenon; 2. Study complete self-shrinker’s F-stability ; 3. Analogy techniques and methods of mean curvature flow to Willmore flow. The idea is as follows: (1) Estimate the upper and lower bounds of the squred norm of the second fundamental form, and show that there exists gap phenomenon or not. Furthermore, we begin to study the related problems, including classifications of submanifolds, F-stablility and so on. 2. Few researchers work on Willmore flow all the time in the world. In this section, we study Willmore flow by using the techniques and methods in Huisken’ and other’s papers. We hope to achieve new breakthroughs in this field.

平均曲率流中一个很有趣且很重要的问题就是奇性分析。1984年，Huisken开始从偏微分方程角度来对它进行研究,取得了突破性的进展。之后平均曲率流成为国际上一个非常热门的研究领域。本项目拟对平均曲率流的自相似解问题进行研究。具体研究内容如下：1. 在不假定多项式体积增长的条件下，对高余维欧氏空间中完备的自收缩算子进行研究，探讨其第二基本形式模长平方是否一直存在gap现象；2. 完备自收缩算子的F-稳定性研究；3.将研究平均曲率流的方法技巧类推到Willmore流上。总体思路是：1.估计第二基本形式模长平方的上下界，说明是否存在gap现象。进而对相关子流形进行研究，包括分类，F-stable等。2. 国内外对Willmore流的研究不多。这部分，我们拟借助Huiskeni等文献中的方法技巧进行研究，以期在该领域取得新突破。

1.平均曲率流的研究来源于几何形变和应用科学领域中很多实际问题，是国际上一个研究热点。平均曲率流的$\lambda$-超曲面在$lambda=0$时即是n+1维欧氏空间中的self-shrinker..2. 对带有多项式面积增长且第二基本形式模长平方有界的完备$lambda$-超曲面进行研究，得到如下结论：.a)若$H(H-\lambda)S\leq H^2$,则超曲面是一个柱面$S^{k}(r)\times \mathbb{R}^{n-k}$, $0\leq k\leq n$. .b) 若$\lambda=0$，则完备的超曲面就是完备的self-shrinker，条件$H(H-\lambda)S\leq H^2$变为$H^2(S-1)\leq 0$.从而$H\equiv0$ ( $M$ 即 $\mathbb{R}^{n}$) 或 $S\leq 1$.由此可得：我们的定理是对曹怀东和李海中(Calc. Var. Partial Differential Equations(2013))定理在超曲面下的推广..c) 我们找到了满足$H(H-\lambda)S\leq H^2$等号成立的例子..3.刘西民和潘全香得到了如下结论：1)在paraconctact 度量 (k,u)-空间和almost-$\beta$-para-Kenmotsu (k,u)-空间中研究二阶平行张量的对称性与反对称性。证明了，如果paracontact 度量（k,u)-空间M中存在二阶对称张量，则M等价于(n+1)-维平坦流形和常截曲率为(- 4)的n维流形的乘积流形或与associated度量张量为g具有常重数的二阶平行张量的$M^{2n+1}$的乘积流形. .2) 如果在almost $\beta$-para-Kenmotsu (k,u)空间（k不等于0）中有二阶平行张量，则它为$M^{2n+1}$中associated度量张量为g的具有常重数的二阶平行张量..3) 对3维almost $\alpha$-para-Kenmotsu 流形在依赖于某些光滑函数k,u 和常值v的nullity条件下，给出了3维almost $\alpha$-para-Kenmotsu 流形M的局部结构，其中M要求$k+\alpha^2\neq0$且使得$d\tilde{k}\wedge \eta=0$