某些特殊子群对有限群结构的影响

Properties of the subgroups are the most basic mathematical characteristics of group theory, it is the most fundamental content of group theory to investigate the structure and properties of groups using a variety of normalities of subgroups, which is very important in the study of finite groups. Maximal subgroup, minimal subgroup and cyclic subgroup of prime power order are very important and special subgroups, which played an important part in the study of the structure of finite groups. In recent years, people introduced a variety of generalized normal subgroups, and obtained fruitful results, which laid the foundation for building new theorys using generalized normality of some special subgroups. We will investigate aspect of the research: firstly, we introduce a new concept with normality and abnormality, investigate the influence of this subgroup on the structure of finite groups and give a new classification of finite group; secondly, we give a new subgroup concept using the relation of normalizer and permutizer, discuss the influence of this subgroup on the structure of finite groups. These researches play an important part and are very significant for further discussion the influence of subgroups on the structure of finite groups, and these issues also have broad application prospects.

子群的性质是群的最基本的数学特征，用子群的各种正规性来描述和刻画群的结构和性质是群论最基本的内容，在有限群研究中具有很重要的地位。极大子群、极小子群、素数幂阶循环子群等是有限群中非常重要的特殊子群，它们在有限群结构的研究中起着关键的作用。近年来，群论专家引入了各种各样的广义正规子群，并得到了大量结果，这为我们用某些特殊子群的广义正规性来构建群的新的结构理论打下了坚实的基础，本项目将把这类研究引向深入，主要研究：1. 利用正规子群和反正规子群这两个对立的概念引入一新的广义正规子群，讨论某些特殊子群在该子群条件下对有限群结构的影响，并利用此性质给出群的一些新分类；2. 利用正规化子及置换化子的关系给出一新的子群概念，讨论该子群对有限群结构的影响，并利用此性质给出群的一些新分类。这些问题的研究对了解子群对群结构和性质的影响有重要的作用和深远的意义，同时这些问题也具有广泛的应用前景。

子群的各种性质是群的最基本的数学特征，用子群的各种正规性来描述和刻画群的结构和性质是群论的最基本的内容。本研究项目围绕着某些特殊子群,如极大子群、极小子群、素数幂阶循环子群等与有限群结构的研究以及通过自同构群的阶来研究有限群的阶两个问题展开研究。引入两个新的广义正规子群概念,从子结构以及商结构两个方面展开研究，利用自同构群的阶研究群的结构分类,取得了一系列有特色的创新性成果。我们讨论两个新的广义正规子群对有限群结构的影响，并利用性质给出群的一些新的结构分类刻画, 我们也得到了引入的两个新的广义正规子群的一些有趣的性质。另外，我们还得到了自同构群的阶是某些特殊数时的有限群的同构分类。