积分方程高精度多尺度快速算法的若干研究

利用多尺度小波方法求解积分方程是数值计算领域的一个研究热点，且已提出了多种不同的多尺度快速算法。积分方程高精度（超收敛）的数值算法在科学与工程计算中具有重要的意义和广泛的应用前景，算法也比较成熟。但迄今同时吸收两种方法的优点，具有高精度的多尺度快速算法仍未被提出。发展计算量少，高效率高精度的多尺度快速算法具有重要的理论价值和应用价值。本项目我们主要集中研究包括Galerkin、Petrov-Galerkin、配置法在内的积分方程多尺度快速算法的高精度迭代框架和快速算法的外推方法。我们首先利用误差校正的思想，构造具有非光滑解的奇异积分方程多尺度快速算法的迭代框架，使得每迭代一次，近似解的精度都得到一定的提高，而增加的计算量相对的少，并证明框架的稳定性、超收敛性和分析算法的计算复杂性。其次，研究在多尺度小波基底下，积分方程快速算法逼近解的渐进误差展开表示，进而提出快速算法的外推方法。

项目主要研究第二类弱奇异 Fredhlom 积分方程u−Ku= f 的高精度多尺度快速小波数值算法. 这类问题的一个主要的困难是由于积分算子是全局算子，使得积分方程离散化后得到的系数矩阵通常为“满矩阵”。当矩阵的阶数很大时（在大型工程计算中这种情况经常发生），往往由于计算量过大而使数值计算无法进行下去。针对不同的具体问题，我们研究了多种数值算法及其应用。(1)高精度多尺度迭代Galerkin快速算法. 我们利用了快速算法的优越性与Sloan迭代后处理算法优越性，构造了具有超收敛性质的迭代快速Galerkin算法，使得算法弥补了传统快速算法最优收敛性与最佳计算复杂性无法兼得的缺点，且在系数矩阵的计算复杂性仍然保持在几乎最优的前提下，在计算量增加不大的情况下，获得超收敛性。(2)高精度多尺度迭代Kantorovich正则化快速算法. 将Kantorovich正则化的思想和快速算法的思想相结合，提出相应的截断策略，使得算法获得最佳收敛阶。 (3)利用“残差校正”的思想构造一种新的多尺度多迭代快速配置，在近似解的基础上进行迭代，使得每迭代一次，近似解的精度都能提高一定的阶数，从而获得全局超收敛性。多迭代配置快速算法的计算复杂性仍保留原来快速配置法的复杂性，每次迭代所增加的计算量主要集中的一个数值积分的计算中，计算量相对非常少。(4)研究针对具有代数核和对数核情形的弱奇异积分方程，构造了弱奇异积分方程的高精度多投影算法，并证明算法具有比传统数值算法要高的收敛阶，表现出超收敛性。(5)利用多投影算法的思想，通过与低频相关的块算子作为原算子的一个逼近，并通过逼近算子计算出特征值和特征向量的一个近似，从数值结果和理论证明可以验证，特征值问题的多投影算法具有非常好的收敛性质，当核函数为光滑核时，特征向量收敛阶为一般投影法的4倍，表现出超收敛性质。(6)应用于气象灾害的数值求解中，获得比较好的结果。