量子丛代数与Ringel-Hall代数

Quantum cluster algebras were introduced in order to develop an algebraic and combinatorial framework for studying the canonical bases of quantum groups. Starting from the representation theory of algebras, we study the structures of quantum cluster algebras and their relations with Ringel-Hall algebras, and the main contents are as follows: study the relations between quantum Caldero-Chapoton characters of acyclic quantum cluster algebras and generalized quantum minors of the corresponding quantum coordinate rings, and describe the dual PBW bases and dual canonical bases of acyclic quantum cluster algebras under quantum Caldero-Chapoton characters; on the basis of Ding-Xu's work, we construct the canonical bases of acyclic quantum cluster algebras, and moreover study their relations with the canonical bases of quantum groups; on the basis of Berenstein-Rupel and Chen-Ding-Xu's works, we study the deeper relations between Ringel-Hall algebras and quantum cluster algebras by investigating the homomorphisms from dual Ringel-Hall algebras to generalized quantum cluster algebras.

量子丛代数被引入是为了在代数和组合的框架下研究量子群的典范基。我们从代数表示论出发，研究量子丛代数的结构及与Ringel-Hall代数之间的联系，主要研究内容如下：研究acyclic型量子丛代数的量子Caldero-Chapoton特征和对应量子坐标环的广义量子子式之间的关系，并利用量子Caldero-Chapoton特征刻画量子丛代数的对偶PBW基和对偶典范基；在丁明-徐帆工作的基础上，构造acyclic型量子丛代数的典范基并比较它与量子群典范基之间的关系；在Berenstein-Rupel和陈学庆-丁明-徐帆工作的基础上，通过考察对偶的Ringel-Hall代数和广义量子丛代数之间的代数同态，研究Ringel-Hall代数和量子丛代数之间更深层次的联系。

丛代数和量子丛代数被引入是为了从代数组合的角度研究对偶典范基和全正性。丛代数理论自建立以来，它与量子群、表示论、代数几何、同调代数等都有密切的联系。本项目按照研究计划主要研究量子丛代数的结构以及与Hall代数之间的联系，在以下三个方面得到了系列研究成果:(1)我们通过量子Caldero-Chapoton特征证明了仿射赋值A^(2)_{2}型量子丛代数的乘法公式,进而得到了A^(2)_{2}型量子丛代数的三组全正的bar-不变整基，精确刻画了对偶典范基（三角基）和典范基（原子基）。此外，我们利用A^(2)_{2}型量子丛代数上的一个自同构，研究了它的生成元。我们利用箭图表示的方法研究了A^{~}_{2n-1,1}型量子丛代数的基本结构，通过构造其上的量子线性关系得到了此类量子丛代数的典范基（原子基）。(2) 我们通过投射模之间的态射范畴构造了局部化的Hall代数，得到了扭的局部化Hall代数到对应的由量子Caldero-Chapoton特征生成的代数之间的满代数同态，实现了带主系数的acyclic型量子丛代数，从而建立了量子丛代数和Hall代数之间的联系。（3）我们引入了广义量子丛代数的概念，在秩为2的情况下，研究了它们的基本结构如Laurent现象和整基; 通过对几何型广义丛代数的探索，研究了它们的下界和上界，得到了这些广义丛代数的标准单项式基。