有限反射不变测度下的调和分析中的若干问题

Dunkl theory began with a series of work by C.F. Dunkl since 1988, it provides the theoretical framework and effective research way for multiple special function associated with the reflection-symmetry and root system, also brought a new field for harmonic analysis. This project study some analysis problems under the finite reflection-invariant measures on European space, as follows: some singular integral operator and multiplier theory under the Dunkl framework; complete harmonic analysis theory associated with the one-parameter Dunkl transform(including the Hardy space theory), and extend the Hardy space theory to general framework; Dunkl analytic function in Cayley-numbers space. Dunkltheory promote the classic Fourier analysis, and it is the high-dimensional generalization for the single-variable Hankel transform, ultraspherical expansion and Jacobi expansion. The Calogero-Sutherland-Moser model in quantum mechanics can be interpreted as a Dunkl operator associated with the symmetry group. All reflects that the Dunkl theory have broad applications, great research potential and possibility.

有限反射不变测度下的分析理论即Dunkl理论开始于C.F. Dunkl自1988年以来的一系列工作，它提供了与反射对称和根系有关的多元特殊函数的理论框架和有效研究途径，也为调和分析带来了一个新领域。本项目研究欧式空间上有限反射不变测度下的几个分析问题，内容有：Dunkl框架下的一些奇异积分算子和乘子理论；完善单参数Dunkl型调和分析理论，包括其中的Hardy空间理论；在一般框架下建立Hardy空间理论；Cayley数空间中的Dunkl解析函数。Dunkl理论推广了经典的Fourier分析，是单变量的Hankel变换，超球展开和Jacobi展开的高维推广。量子力学中的Calogero-Sutherland-Moser模型可以解释为一个关于对称群的Dunkl算子。这些都反映了Dunkl理论的广泛的应用前景，也反映了Dunkl理论具有巨大的研究潜力和可能性。

本项目研究了欧式空间上有限反射不变测度下的几个分析问题，主要有以下几点：. 1、研究了单参数Dunk框架下的Littlewood-Paley理论，包含g函数、面积函数和g*函数。定义了Dunkl框架下几种g函数，利用相应的向量值奇异积分理论证明了这些g函数都是(p,p)型的(1<p<∞)，对面积函数与g*函数也在一定范围证明了Lp有界性，还给出了一类乘子的有界性，并将g函数的有界限结果推广到了n维情形。. 2、给出了单参数Dunk框架下Hardy空间的极大函数刻画，并证明了该非切向极大函数与面积函数的Lp范数是等价的(1<p<∞)。. 3、利用Uchiyama的方法得到了单参数Dunk框架下Hardy空间的原子分解，相应的原子也满足支集条件、尺寸条件和均值条件。对该Hardy空间中的偶函数(即与Hankel变换相关的Hardy空间)，还通过类似于经典的复方法重新得到它的原子分解，并给出具体的构造方法。. 4、给出了单参数Dunk框架下Hardy空间H(R)的另一刻画，即L(R)中函数f属于Hardy空间H(R)的充分条件是f的一阶Riesz位势If的弱Dunkl导数D(If)存在，且D(If)∈ L(R)。. 5、研究了k阶Cayley数(即八元数)解析函数，给出了它们的Cauchy积分公式、Taylor展式、Laurent展式，以及构成解析函数的正交基，并归纳总结了Cayley数的弱结合性质，在此基础上，研究了Cayley数空间中的Dunkl解析函数，给出了相应的基本性质，包含Cauchy积分公式、Dunkl型共轭调和函数系与Dunkl解析函数的关系，以及Fueter定理的推广。. 以上是本项目完成的主要情况，基本达到了项目预期目标，部分结果已经发表或待发表。