3维Lorentz空间中的伪圆纹Willmore曲面与4维球面中的共形曲面论

In this project we study conformal invariants in Moduli space of 3-dimensional Lorentzian space and the classification of space-like, time-like, light-like pseudo cyclic surfaces, also we study conformal surface theory in S^4. It's important for us to focus on the conformal invariants system of pseudo circle in 3-dimensional Lorentzian space. Firstly, we study on the moduli space of pseudo circles so as to find out conformal invariant metric and geodesics, from which we classify some special surfaces with Willmore and Zero-Mean curvature conditions; moreover, we try to build conformal invariants system in S^4 to study conformal surface theory. We hope to find out the connections between pseudo cyclic surfaces and geodesics in moduli space which indicate connections between geometry and algebra, also to find out some new research methods and applications.

本项目将研究3维Lorentz空间中伪圆的模空间中的共形不变量以及类空，类时，类光伪圆纹Willmore曲面的分类问题，并研究S^4中的共形曲面论及其应用。关于3维Lorentz空间中伪圆的共形不变量系统的研究具有重要作用，我们首先将对伪圆的模空间进行深入研究，并由此找出共形不变的度量，测地线，并由此来研究伪圆纹曲面的分类问题，我们将结合Willmore条件和零中曲率条件，来完全分类一些特殊的曲面；同时，在4维球面S^4中构造共形不变量系统，来研究共形曲面论。在项目的研究中希望找出几何对象Lorentz空间中伪圆纹曲面与代数结构模空间中测地线之间的联系，丰富它们的内容，发现新的方法及其应用。

微分几何学中，各个空间形式中子流形的分类问题由来已久。本项目利用代数结构模空间来研究3维Lorentz空间中的伪圆纹Willmore曲面和4维球面中的共形曲面论。在构造了伪圆的模空间后，进一步构造了共形不变的度量，联络，并利用联络计算出共形不变的测地线，依此对伪圆纹曲面进行完全的分类；进一步，利用Willmore条件对伪圆纹Willmore曲面进行完全的分类，得到此类曲面与特殊弹性曲线方程之间的联系，为完全分类3维Lorentz空间中的伪圆纹曲面以及研究4维球面和Lorentz空间中的共形曲面论打下了理论基础。目前，项目已经完成4篇相关论文，均已投稿，并出版1本专著，因此，项目的主要目标已经完成。