Orlicz Minkowski问题及相关极值理论

In 2010, after establishing the Orlicz Brunn-Minkowski theory, a series of problems, especial the Minkowski problem, have been the latest and hot studies in Convex Geometry and Analysis. This project will focus on the Orlicz Minkowski problem and related open problems, by applying the modern tools of Space Theory, Spherical Harmonic Analysis, Discrete Geometry, Differential Geometry and Integral Transformation which combine with the Orlicz Brunn-Minkowski theory. These problems, including Orlicz Minkowski problem for general measures, Orlicz affine Sobolev inequality, Orlicz John ellipsoid and the applications in Infromation Theory, are typical problems in Convex Geometry and Analysis, and have the important value of research and vast potential applications.

2010年, 随着Orlicz Brunn-Minkowski 理论的建立，相应的一系列问题成了凸几何分析领域中的前沿和热点问题，尤其是Minkowski问题。本项目运用空间理论、球面调和分析、离散几何、微分几何和积分变换等现代分析工具与Brunn-Minkowski-Firey理论相结合，来研究Orlicz空间中的Minkowski问题和相关的公开问题，其中包括：一般测度的Orlicz Minkowski问题；Orlicz 仿射Sobolev不等式；Orlicz John椭球及其应用； Orlicz Brunn-Minkowski 理论在信息论中的应用。这些都是凸几何分析中具有代表性的问题，因此具有重要的理论研究价值和广泛的应用前景。.

本项目研究了Orlicz Minkowski问题及相关极值理论。在研究过程中，我们运用扰动技术、迷向嵌入技术、质量迁移技术以及自伴算子等工具，获得了如下研究成果：我们研究了一般离散测度下的Orlicz Minkowski问题，得到了其解的存在性；重新证明了离散的Lp Minkowski问题的存在性和唯一性，利用其唯一性，阐述了Lp Minkowski问题与Lp Minkowski不等式之间的关系；我们建立了同构型的逆等周不等式；研究了在仿射类下的最优Sobolev范数，我们证明了存在唯一的保体积的仿射变换使得Lp Sobolev范数达到最小；建立了 Lp Loomis-Whitney 不等式，同时也建立了Lp 带体的最小p-平均宽度不等式；研究了Lp Minkowski-Firey组合的第二变分， 得到了单位球面上的Poincaré型不等式。这些工作在凸几何分析研究中是十分前沿的，推动了Orlicz Brunn-Minkowski理论和Lp Brunn-Minkowski理论中相关极值理论问题的发展，得到了国内外同行的关注和好评。