局域势场中分数阶薛定谔方程的建立及其求解方法研究

包含Riesz分数阶导数的分数阶薛定谔方程[Phys. Rev. E, 66 (2002) 056108]是标准薛定谔方程的推广，是在考虑自然界中比Guass分布更一般的对称Lévy分布的基础上，由Lévy路径上的路径积分所推导出来的，可描述更广泛的复杂量子体系。求解分数阶薛定谔方程是研究分数阶量子体系的基本方法，但由于Riesz分数阶导数是由Fourier变换来定义的，具有全局性，在应用到局域势场时，存在物理解释和数学处理上的双重难度，目前尚无解决办法。我们通过研究发现该问题的症结在于原始的分数阶薛定谔方程自身存在缺陷，本项目拟给出解决办法。我们拟从原始的Lévy路径积分出发，考虑局域势场对路径积分的拓扑限制，建立相应的路径积分表达式，并由此导出相应的分数阶薛定谔方程，将势场对粒子运动的限制融入分数阶算子之中，并给出新方程的求解方法，突破现有的分数阶薛定谔方程难以在局域势场中应用的限制。

近年来分数阶微积分进入了量子力学研究领域，用于研究复杂量子体系的粒子行为。分数阶量子力学由建立在Lévy路径积分基础上的包含Riesz分数阶导数的分数阶薛定谔方程 [Phys. Rev. E, 66 (2002) 056108]所刻画。这方面的开创性结果由加拿大多伦多大学的Nick Laskin教授得出。求解分数阶薛定谔方程得出体系波函数和能级是研究分数阶量子体系的基本方法，但由于Riesz分数阶导数是由Fourier变换及其逆变换来定义，具有全局性，在应用到局域势场时，存在物理解释和数学处理上的双重难度，目前尚无解决办法。我们通过研究发现该问题的症结在于Laskin导出的分数阶薛定谔方程自身存在缺陷，该方程由路径积分方式导出时未考虑实际势场的局部性，从而导出含有全局性算子的方程。本项目主要考虑如何克服分数阶薛定谔方程在局域势场中难以应用和求解的问题，做了如下工作：1. 精确导出了一维情形下具体的局域势场，无限深方形势阱中粒子的波函数和能级，解决了当前针对该势场下波函数的争议。我们通过研究局域势场下的Lévy路径积分传播子和分数阶薛定谔方程解之间的关系，不直接求解分数阶薛定谔方程，而是间接通过求出局域势场中的Lévy传播子，来求出波函数和能级，避免了分数阶算子全局性的限制。 2. 研究了高维情形的分数阶量子散射问题。散射理论和散射实验常用来研究粒子间的相互作用和物质的内部结构。分数阶量子力学框架下的散射理论可用于描述更广泛的粒子散射问题。量子散射问题的势场虽一般属于局部势场，但散射问题一般研究粒子运动到无穷远处的性质，从而可以看作全局问题来研究。 我们通过考虑针对散射问题的二维及三维的分数阶薛定谔方程的分数阶格林函数及其近似性质，给出了散射波函数的近似解和各级修正结果。