分数阶扩散方程中未知参数的求解

Fractional partial differential equations have gained considerable popularity and importance during the past three decades or so, due mainly to its demonstrated applications in viso-elastic mechanics, neural control process, anomalous diffusion, dispersion in porous media, electrolyte polarization, signal processing, quantum of economic, and so on. And the related problems with fractional partial differential equations are of substantial and growing interest for many scientists and engineers.. This project aims to recover the unknown parameters in fractional diffusion equations, such as the diffusion coefficients, the Robin coefficients, the source terms and the fractional orders. By additional measurements, we should prove the unique existence of the unknown parameters. Besides, using Matlab, we will give the proper alogrithms and solve the unknown parameters.. This project will not only promote the further development of related research areas, but also make the engineering problems to be resolved.

分数阶偏微分方程已经在粘弹性力学、神经控制过程、反常扩散、多孔介质中的弥散、电解质的极化、信号处理、量子经济等一系列领域有了令人瞩目的应用，对其相关问题的研究成为国内外同行关注的热门方向之一。. 本项目旨在求解分数阶扩散方程中的各种未知参数，如传导系数，来源函数，分数阶指数以及Robin系数等。通过附加的测量数据确定未知参数的唯一存在性。另外，结合具体的实例，给出详细的算法，利用Matlab编程，计算所需求解的参数。. 本项目不仅可以促进相关研究领域的进一步发展，而且使得工程实际问题得以解决。

分数阶偏微分方程已经在复杂系统中的反常扩散、多孔介质中的传播、电解质的极化等一系列领域中有了令人瞩目的应用。分数阶偏微分方程与整数阶偏微分方程最大的区别在于分数阶导数是非局部的。我们已经利用傅里叶变换等方法对分数阶扩散方程的解析解、数值解及其相关应用进行了初步的研究，并分析了解的渐近性态等。特别地，针对一维空间中的分数阶扩散方程，在已测数据下，讨论了分数阶指数，扩散系数及来源函数的唯一确定性。. 本项目的主要研究内容为偏微分方程中未知参数的唯一识别性，具体有以下两个部分：.1. 研究了一维分数阶超扩散问题中分数阶指数，扩散系数和来源函数的唯一识别性以及二维分数阶次扩散问题中来源函数的唯一识别性。.2. 利用正则化方法求解未知系数，结合拟逆方法和对偶原则给出合适的正则化参数，并获得近似系数的收敛性和收敛率。