随机不动点理论中的半序方法及其应用研究

本项目主要利用半序方法研究随机不动点理论中的半序方法及其在随机积分方程和随机微分方程中的应用。对于非线性项可变号情形，拟建立有关非锥映射随机全连续算子在非锥集上随机不动点指数和随机拓扑度的新的计算定理，进而在锥导出半序结构和格结构下研究随机全连续算子随机不动点存在性。对于含间断项情形，相应的积分算子不连续，为此需对非连续随机算子随机不动点理论进行研究，目前相关研究工作非常少见。由于非连续随机算子与可测元的复合未必可测且由其不动点集构造的算子也未必为随机闭值算子，这给其随机不动点存在性研究带来了本质性困难，同时使得不动点集方法和随机拓扑度方法都无法直接应用。鉴于此，拟利用半序方法建立非连续随机算子与可测元复合的可测性、随机闭值算子极大可测选择存在性、乘积可测存在性和遗传性和随机序集一般原理等基础性定理，探寻适用于非连续随机算子随机不动点理论研究的新途径和新方法。

本项目主要要研究随机算子（含非连续随机算子）随机不动点问题，所采用的方法主要为半序方法。首先建立随机全连续算子随机拓扑度和随机不动点指数计算问题及其在随机积分方程和随机微分方程中的应用。对于非连续随机算子情形，通过建立随机算子与可测元复合的可测性、随机闭值算子极大可测选择存在性、乘积可测存在性和遗传性和随机序集一般原理等基础性定理，分别在可分Banach空间和度量空间中，获得了系列新的随机不动点存在性结果。本项研究丰富了随机不动点理论研究成果，并为其研究提供了一新的具有一定适用性的途径和方法。