相变模型中界面运动方程的定性研究

Phase transition models are physical models to describe the transformation process between different phases. The dynamics of the interfacial evolution formed in phase transition is always the focus of attention. This project intends to study several problems of new type interfacial evolution, with focus on the impact caused by surface tension, anisotropy, and nonlinear dependence of velocity on the curvature of interface. The description of interfacial evolution can be equivalently converted into solving a class of nonlinear parabolic equations, including the existence of global solutions, long-time asymptotic behavior of global solutions and property of blow-up solutions. The principal terms in the equations have degeneracy and nondivergence form. In some cases, the nonlocal term interacts with reaction term each other, and can cause the failure of comparison principle. The scientific problems in the project arise from real word applications. They are also hot spots of research in the direction of partial differential equations, and have theoretical significance for mathematics.

相变模型是描述物质在不同相态之间转变过程的物理模型，相变过程中所形成的界面运动机制是人们关注的焦点。本项目拟研究几类新的界面运动，重点关注张力系数、速度项的各向异性、速度项对于曲率的非线性依赖关系等因素对于界面运动机制的内在影响。拟研究的界面运动问题可等价地表述为一类非线性非局部抛物型方程解的演化问题，包括解的整体存在性、整体解的长时间渐近行为和爆破解的爆破性态等。该类抛物型方程通常具有非散度型的退化结构，非局部项与反应项之间有时相互制约，并造成比较原理不成立。项目中的科学问题来源于实际应用，也是偏微分方程领域的研究热点，具有重要的数学理论研究价值。

相变模型是描述物质在不同相态之间转变过程的物理模型，相变过程中所形成的界面运动机制是偏微分方程领域关注的重点。本项目的主要研究内容和成果如下：1) 对于逆曲率保面积和保长度界面运动方程（曲率次幂为负数），在假定解整体存在的前提之下，利用Moser迭代的方法证明了曲率的一致上界，进而得到解的长时间渐近行为，此外还给出了解在有限时刻产生奇性的充分条件；2）对于各项异性曲率界面运动方程，针对前人未考察的曲率次幂取值范围，刻画了解的有限时刻收缩、有限时刻扩张以及长时间扩张的演化行为；3）对于非局部各项异性曲率界面运动方程，针对出现的各向异性函数，运用“各向异性曲率”的概念去分析问题，证明了简单闭凸曲线长时间存在并收敛到一个Wulff形曲线，阐明了各向异性函数在界面演化中的作用； 4）对于带有Robin边值条件的收缩界面运动，克服了边界爆破的困难，运用零点理论证明了解在任何紧子区间上会收敛到一个行波解； 5）对于相变模型中带有变指数的非线性Stefan问题，给出了解的整体存在和有限时刻爆破的充分条件，并研究了整体解的收敛性；6）对于从界面运动中产生的非一致抛物并且带有非局部项的反应扩散方程初边值问题，运用L-S不等式等工具，给出了解整体存在和有限时刻爆破的充分条件，并完整刻画了整体有界解的收敛性。四年来，总计发表了7篇文章（均标注了基金号），基本完成了项目设定的大部分研究目标。项目的执行让我们获得了对界面运动方程理论更为深入的理解。