达布变换，非局域对称及其局域化

对称性研究是自然科学研究中最有效的重要方法之一。传统的对称性研究方法是先研究对称的无穷小形式李代数，然后再研究相应的有限变换对称群。然而对复杂的非线性问题，这样的传统方法有可能显得困难重重，而是首先应该研究有限对称变换群，再反过来研究对称代数及其可能的应用。可积系统中的达布变换是学术界众所周知的最重要研究方法之一。它实际上是对应非线性系统的有限变换群。然而与这个对称群对应的对称代数问题百余年来几乎无人问津。本项目将在揭示达布变换对应的对称代数是非局域对称代数的同时，提出非局域对称的局域化方法，从而揭示非线性物理中一些深层次的内在联系和可能的实际物理应用。如：达布变换和双达布变换在对称代数层次的联系；Levi变换和达布变换及其和非线性化方法的联系；达布变换对应的对称性约化；达布变换，递推算子和Lax对的联系；椭圆周期波和孤立波的相互作用解及其可能的海啸波与背景波的相互作用描述等等。

对称性研究是自然科学研究中最有效的重要方法之一。传统的对称性研究方法是先 研究对称的无穷小形式李代数，然后再研究相应的有限变换对称群。然而对复杂的非线 性问题，这样的传统方法有可能显得困难重重，而是首先应该研究有限对称变换群，再 反过来研究对称代数及其可能的应用。可积系统中的达布变换(DT)是学术界众所周知的最重 要研究方法之一。它实际上是对应非线性系统的有限变换群。然而与这个对称群对应的 对称代数问题百余年来几乎无人问津。本项目成功揭示了DT对应的对称代数是非局 域对称代数的同时，提出了非局域对称的局域化方法，从而揭示了非线性物理中一些深层次 的内在联系和可能的实际物理应用。如：DT和双DT在代数层次显示一致性，实际上两类DT具有相同的无穷小生成元，只是采用的群参数有所不同 ；Levi变换、DT、贝克隆变换、留数对称、逆递推算子、非线性化方法所用的对称约束等等完全对应于等价的非局域对称；利用非局域对称我们可以得到大量的新的传统方法无法得到的各种不同类型非线性波的相互作用解，如椭圆周期波与孤立波的相互作用，Painleve波和孤立波的相互作用，Airy波、Bessel波、任意Boussinesq波 等等与孤立波的相互作用。对于椭圆周期波和孤立波的相互作用解的研究我们发现了一些具有普适意义的新规律，如椭圆周期波和孤立波可以统一用李政道模型(Phi3+Phi4模型)的解来描述，周期波与孤立波相互作用后均有半波损失。由此启发，我们进一步建立了简单易懂易操作但意义深刻的CRE/CTE可积性理论和方法。对于超对称可积模型，我们成功建立了经典系统的玻色化方法，并同时把非局域对称的局域化方法成功应用于玻色化以后的超对称系统。