基于并行和细分的高效胞映射方法及应用研究

The cell mapping method is an efficient numerical method to research the response and bifurcation of stochastic dynamical systems, especially the situation that multiple attractors coexist. However, it is time-consuming in analyzing the response and bifurcation of multi-degree of freedom dynamical system. Hence, it is very necessary to develop a fast and accurate cell mapping method. Based on the parallel algorithm, this project centers around three processes of the creation of one-step transition probability matrix, digragh analysis algorithm and matrix analysis algorithm, to explore the rapid calculation of cell mapping method. Based on the conception of composite cell coordinate system, this project proposes a subdivision method to further increase the accuracy of cell mapping method. For two typical models of non-Gaussian noise excitation: bounded noise and Poisson white noise, this project studies the response and bifurcation of stochastic dynamical system with multiple attractors and extends the results to multi-degree of freedom dynamical system, in order to reveal the intrinsic connection of different definitions of stochastic bifurcation and clarify the relationship between stochastic response and unstable manifold of deterministic dynamical system. The fulfillment of this project can expand the application of cell mapping method, provide an powerful tool in analyzing the stochastic response and stochastic bifurcation of multi-degree of freedom dynamical with multiple attractors and enrich the research results of stochastic dynamical systems.

胞映射方法是研究随机动力系统响应和分岔问题的一种有效数值方法，尤其是多吸引子共存时的情况，但在分析多自由度随机动力系统的响应和分岔问题时耗时太长，因此非常有必要发展一种即快速又准确的胞映射方法。本项目基于并行算法，围绕一步转移概率矩阵创建、图分析算法和矩阵分析算法三个过程，探讨胞映射方法的快速计算问题。基于复合胞坐标系概念，提出一种细分方法进一步提高胞映射方法的准确性。针对两类典型的非高斯噪声激励模型：有界噪声和泊松白噪声，研究多吸引子共存时随机动力系统的响应和分岔问题，并将研究结果推广到多自由度的情形，揭示不同随机分岔定义之间的内在联系，阐明随机响应与确定性动力系统不稳定流形之间的关系。本项目的完成将扩大胞映射方法的应用范围，为多吸引子共存时多自由度系统的随机响应和随机分岔问题研究提供有力工具，丰富随机动力学的研究成果。

胞映射方法是研究非线性随机动力系统重要的研究方法，本项目针对胞映射方法的高效实现以及在非高斯噪声激励下动力系统响应和分岔问题中的应用，进行了如下的一些研究工作：（1）提出了基于并行和迭代细分的高效胞映射方法，快速准确地获得了系统的吸引子、吸引域、鞍及不变流形等全局特性；通过重新构造胞状态空间，提出一种确定动力系统全局特性的有效方法；基于碰撞振动系统碰撞面处的变步长算法，实现了胞映射方法在碰撞振动系统响应分析中的应用。（2）通过分析动力学系统的全局特性，研究了系统参数对动力学系统全局动力学行为的影响规律。运用复合胞坐标系方法，分析了一类含非黏滞阻尼的Duffing 单边碰撞系统的激变现象；针对谐和参激作用下的双势阱Duffing系统，研究了系统的混沌行为演化过程，以及混沌鞍和激变现象。（3）研究了随机激励下动力学系统的响应和分岔问题，探讨了多吸引子共存时响应和分岔的演化规律与确定系统不变流形间的联系。针对加性和乘性泊松白噪声联合作用下SD 振子，基于矩阵分析算法，分析了系统在泊松白噪声激励下的瞬态和稳态响应；研究了泊松白噪声激励下能量收集系统的响应问题，并通过分析稳态概率密度函数的演化过程，研究了系统的随机分岔现象；研究了周期和高斯白噪声共同激励下含非负实幂率恢复力系统的响应概率密度函数，发现了系统的随机P-分岔和混沌响应现象。（4）研究了非高斯噪声激励下几类典型非线性动力学系统的首次穿越、随机共振、随机响应等问题。成功将广义胞映射应用到研究非线性随机动力系统的首次穿越时间统计问题中，研究了泊松噪声的强度和平均到达率对首次穿越时间概率密度及平均首次穿越时间的影响；针对列维噪声和周期激励联合作用下的肿瘤增长模型，研究了由于随机共振而造成的肿瘤复发的可能性；研究了随机窄带激励下的含单边约束的非线性碰撞振动系统的多值响应，利用Krylov-Bogoliubov平均法获得系统的频率响应。