部分可观测信息下风险模型的最优投资与再保险策略

In this project，we will study optimal investment and reinsurance problem under partial information for several risk models by employing the elementary methods including theories like stochastic control, stochastic filtering, stochastic analysis. Since back ground of the problems, different kinds of partial information will be investigated for the risk models. As for the methods, stochastic maximum principle and verification theorem for the the risk models, including diffusion model, compound Poisson risk model and the jump diffusion model, will be studied . The relations among adjoint processes are established. Furthermore, the observable characterization of maximum principle is given. When the DPP is employed, because of the complexity, we will use numerical simulation to explain the optimal strategy.

本项目拟运用随机控制、随机滤波、随机分析、正倒向随机微分方程等理论工具，研究保险领域中部分信息下的最优投资与再保险问题。 由于拟研究问题具有较强的实际背景以及应用价值，在建模时，对不同的风险模型，将考虑不同意义的部分信息。在方法上，重点研究几类风险模型，包括扩散模型、复合Poisson模型、跳扩散模型的随机最大值原理和验证定理，建立原过程与对偶过程之间的联系，给出最大值原理的可观测刻画。另一方面，在用动态规划原理的方法解决问题时，由于拟研究问题的复杂性，将用数值模拟给出最优策略的直观解释。

部分可观测情形更接近真实的金融市场情况。基于此，本项目运用随机滤波、随机分析、凸分析、正倒向随机微分方程等理论工具， 研究随机控制问题。同时尝试将其理论结果应用到一些金融实际问题中。到目前为止，在自动化的Top Journal — Automatica 接收论文一篇，在Mathematical control and related fields 接收论文两篇（其中一篇已在线发表）。 在 Science China Information Sciences，International Journal of numerical analysis and modeling，Mathematical control and related fields，Probability and Statistics Letters发表论文四篇。全部SCI收录。.本项目部分重要研究成果概述如下: 研究了究了部分信息下带马氏调制的正倒向随机系统的随机最大值原理，并在不同市场状态下（熊，牛市）给出了最优投资策略；研究了部分可观测信息下带有延迟的随机系统的随机最大值原理。在证明充分性的时候，去掉了Hamiltonian泛函凹性的要求，而通常在其它论文中，此假设是必须满足的条件。并且，通过数值模拟，我们发现延迟时间越长，收益越少；运用动态规划原理研究了部分信息下带有延迟的最优投资问题，给出了最优策略和验证定理。进一步，通过数值模拟给出了各个参数对于收益的影响以及经济上的解释；研究了部分可观测信息下正倒向随机系统的非零和微分博弈问题，每个博弈者有自己的观测方程，得到了纳什均衡点的充分必要条件。并将其应用于解决金融实际问题；研究了带有延迟以及超前项的正向倒的向随机微分方程的数值解。得到了L^2下的收敛结果；研究了用分支例子系统逼近最优滤波，并给出数值解。研究了脉冲分红策略下的经典风险模型中的Gerber-Shiu折现罚函数。给出了几个保险精算量的联合分布。上述研究结果丰富了正倒向随机系统最优控制和微分对策理论，为解决一些金融实际问题提供了潜在的理论工具，并为今后借助随机流 和对偶向量场等理论建立最大值原理中对偶变量间的联系奠定了研究基础。