具有左不变伪黎曼度量的李群及相关问题的研究

李群是代数结构和几何结构的自然结合体，而李变换群则是群论在几何和分析领域中的自然表现，也是各种应用的基础。Milnor在总结了前人研究的基础上，系统地讨论了李群的结构性质和满足特定条件的左不变黎曼度量的存在性之间的关系。从此，具有左不变黎曼度量的李群就成为李群理论研究的热点问题之一。Aubert和Medina把黎曼度量推广到伪黎曼度量，讨论了具有平坦左不变伪黎曼度量的李群。更重要的是他们的研究侧重于代数的方法，也为这一问题的研究开辟了一种新的方法。之后，Boucetta讨论了与左不变伪黎曼度量具有某种相容性的Poisson李群的代数结构，并命名为伪黎曼李代数。申请人在具有平坦左不变伪黎曼度量的李群的代数结构和伪黎曼李代数的研究中已经取得了一些结果。本项目将在已有结果的基础上，利用代数的方法进一步讨论此类李群的代数结构和曲率等几何问题，力争解决此类李群的分类等基本问题，从而推动这一方向的发展

本项目中，我们研究了齐性流形中的几何问题。首次给出了和例外群F_4和G_2相关的具有Einstein-Randers的齐性流形，系统讨论了伪黎曼弱对称流形的性质。同时，我们研究了李群上的左不变伪黎曼度量，给出了一种新的代数方法证明了伪黎曼李代数是可解的，从左对称的角度研究了李群上的左不变伪黎曼平坦度量，以及研究具有某种对称性的李群上的左不变度量。而且，我们研究了具有某种不变线性型的代数，如费米-诺维科夫代数上的左不变双线性型和诺维科夫代数上的结合不变双线性型。最后，我们给出了2|2维巴林斯基-诺维科夫超代数的分类。我们的一些结果得到了审稿人的高度评价，我们摘录一些评价如下：“结果和方法是令人心动的，并且这篇文章有潜力对这个杂志做出重要贡献”；“结果很有意思，能够成为进一步深入研究伪黎曼费米-诺维科夫代数的基础”；“研究的主题一直是数学物理中的重要问题，而相关的工作对这个领域有独创性的贡献”。