Heisenberg群上次椭圆方程解的对称性和凸性

This issue focuses on the symmetry and convexity properties for solutions of two typical sub-elliptic equations on the Heisenberg group. By using the methods of Partial Differential Equation, Variational Method and Geometric Analysis, we establish symmetry and monotonicity properties for positive solutions of a class semilinear sub-elliptic equations including the sub-Laplacian on the whole space, and of a class quasilinear sub-elliptic equations including the sub-p-Laplace operator on the metric ball; we also establish the convexity of solutions to sub-Laplace equation on H-convex domains. The sub-elliptic equations are induced by the horizontal vectors, which are a class of highly degenerate partial differential equations. On the other hand, there are many important applications in the theory of boundary layer, geometric control theory, image processing and nonholonomic mechanics and other fields. Mathematicians pay more and more attention to this class of equations. As some of the most important geometric properties, symmetry and convexity are hot topics in the study of partial differential equations for a long time. Therefore the research on this subject can further enrich the theory of Partial Differential Equation and Geometry Analysis.

本课题拟深入研究Heisenberg 群上两类典型次椭圆方程解的对称性和凸性。应用偏微分方程、变分法和几何分析的思想方法，建立全空间上一类含次Laplace算子的半线性次椭圆方程正解的对称性和单调性，研究度量球上含次p-Laplace算子的拟线性次椭圆方程 Dirichlet边值问题正解的对称性和单调性；在有界光滑H-凸域上建立次Laplace方程Dirichlet边值问题经典解的凸性估计。次椭圆方程是由水平向量场所诱导的偏微分方程，由于这类方程在边界层理论、几何控制论、图像处理和非完整力学等领域有重要应用，而方程本身又是一类高度退化方程，越来越受到人们的重视。对称性和凸性作为方程解的重要几何特征，一直是偏微分方程研究中的重要方面。开展本课题的研究，可进一步丰富偏微分方程和几何分析的理论。

本项目经过三年的科学研究，在全体项目组成员的共同努力下，预期目标已基本达到。在次椭圆方程解的性质方面取得了一系列的研究成果。在此期间，项目组共发表科研论文5篇，其中SCI期刊源论文4篇，国内核心期刊论文1篇。所取得的研究成果主要体现在如下几个方面：. 基于次椭圆方程解的对称性方面： 研究了Heisenberg群上一类耦合的次椭圆方程组正解的对称性，利用能量估计方法证明全空间上该次椭圆方程组不存在非平凡的正解。. 基于次椭圆方程解的增长性方面：研究了Heisenberg群上系数满足群周期函数的散度型次椭圆方程，通过构造水平差分结构，利用次椭圆估计和群上多项式的性质，证明上述方程满足多项式增长的解一定是系数为群周期函数的广义多项式。. 基于Grushin方程解的零点集方面：建立了高维空间上齐次Grushin-调和多项式的解空间的维数和基底函数；深入刻画了三维空间上Grushin调和函数零点集的几何结构，得到球面Grushin调和函数的零点区域个数的最小下界估计。