随机系统的滞留时间和有限时间内滞留概率分析与区域目标控制

This project considers continuous stochastic systems and stochastic controllable systems modeled by Ito stochastic differential equations. The main purpose of the project is to study probabilistic properties of resistence time and computation and estimation of resistence probability in finite time for stochastic systems, residence probability control, residence time control, as well as the problem of domain-aiming control in finite time for stochastic controllable systems. Resistence time is defined as the time that the trajectories of a stochasitc dynamical system stay the exterior domain of a given neighborhood of zero, while resistence probability is the probability that the trajectories stay the domain in finite time. The domain-aiming control refers to rendering the trajectories of a stochastic system reach the boundary even enter the interior of a neighborhood of zero in finite time with a given probability. Resistence probability and finite resistence time actually means stability in probability in finite time. Under some suitable conditions, the project will derive the explicit formula or the lower bound of estimation for the resistence probability of related stochastic systems in finite time, and calculate or estimate the expected resistence time of associated stochastic systems. For various stochastic systems, the project will try to find appropriate control approaches, by which these stochatic systems could achieve their control targets of resistence time and resistence probability in finite time. Also, for several different stochastic controllable systems with output variables, some suitable control design methods for achieving the control goal of prescribed domain are given.

本项目的研究对象是伊藤随机微分方程表示的随机动态系统和可控随机系统，重点研究随机系统滞留时间的概率性质和有限时间内滞留概率的计算和估计，可控随机系统的滞留概率控制、滞留时间控制，以及有限时间内区域目标控制问题。滞留时间是指随机系统的状态停留在给定零点邻域以外的时间；有限时间内滞留概率是指在给定有限时间里系统状态滞留在给定零点领域以外的概率；区域目标控制是指通过合适的控制设计方法使得可控随机系统的状态在给定的时间里以一定的概率到达指定零点邻域的边界甚至内部。有限时间滞留概率和有限的滞留时间本质上是有限时间依概率稳定性。在一定的假设条件下，给出随机系统有限时间滞留概率的解析表示或估计下界，计算滞留时间的数学期望或给出估计下界。针对不同的可控随机系统，寻找合适的控制设计方法，达到有限时间滞留概率控制和滞留时间控制的目标。对于各种有输出变量的可控随机系统，寻求合适的控制设计方案，达到预定控制目标。

动态系统由于受到随机噪声的影响或者由于存在模型设定的误差及测量误差演变为随机系统，可由伊藤随机微分方程表示。本项目以随机动态系统和可控随机系统为研究对象，重点研究有限时间稳定性，随机系统滞留时间的概率性质和有限时间内滞留概率的计算和估计，可控随机系统的滞留概率控制、滞留时间控制，以及有限时间内区域目标控制问题。..本项目首先研究了齐次随机非线性系统的有限时间稳定性理论，建立了齐次随机系统有限时间稳定性的判据，在一定的条件下，针对随机系统的漂移系统为齐次函数情形，也给出了有限时间随机稳定性的判据。其次，系统发展了随机非线性系统的有限时间稳定性理论，在更一般条件下，证明了随机非线性系统有限稳定性的李亚普诺夫定理，该定理不仅推广了已有的结果，而且也揭示了布朗噪声在随机非线性系统有限时间性方面扮演着重要角色。为了减弱微分算子的假设条件， 通过引进多个李亚普诺夫函数得到了更加方便的验证条件。再次，对于具有时变漂移系数和扩散系数的随机系统，二阶微分算子的条件被进一步减弱，从而有限时间随机稳定性定理得到发展和推广。同时，本项目研究了有限时间内区域目标控制问题涉及到的理论问题，建立了有限时间区域依概率理论，包括解的正则性、区域常返性、区域首中时间的概率性质、区域外滞留概率的估计和计算、滞留时间的概率性质与狄利克莱问题的关系等等。最后，对于线性和非线性随机可控系统，给出了状态反馈控制器的设计方法，确保闭环系统有限时间内具有依概率区域稳定性。..综上所述，随机非线性系统的有限时间稳定性和区域依概率稳定性的理论分析框架已经建立，一些可控随机系统的非光滑镇定控制器设计方法被提出。随着研究的深化，随机非线性系统的有限时间稳定性理论、区域依概率稳定性理论以及控制设计方法，将会在网络控制、多智能体控制方面得到更大的发展和更广泛的应用。