流体机械内部非定常流动问题的高效两重网格算法

The unsteady Navier-Stokes equations are the main mathematical model for studying the unsteady flow in fluid machinery. Hence the investigation of numerical methods for the unsteady Navier-Stokes equations is important in mathematics and engineering practice. The space decomposition of two-level methods based on the inertial manifolds and approximate inertial manifolds has no relation with the nonlinear term and evolutions of the solution, so the interactions between large and small eddy components have to satisfy some strongly coupled systems. In light of this problem, we take into account the interaction between the large and small eddy components sufficiently and try to construct a new projection which can reflect the characteristics of the nonlinearity and dissipation of energy in the Navier-Stokes equations for different Reynolds numbers. This projection depends on the nonlinear dissipative system and thus can avoid the problem that we need the strongly coupled systems to get the large and small eddy components in the traditional methods. Based on the new projection, we decompose the large and small eddy components. Thus we get the weakly coupled two-level methods. The two-level methods can obtain the optimal approximations by the less computational time and improve the efficiency. Our methods can provide a good way to simulate the Navier-Stokes equations and the studying on the flow in fluid machinery.

非定常Navier-Stokes(N-S)方程是描述流体机械内部非定常流动问题的主要数学模型，因此构造和研究其高效数值方法在数学和工程实践中都具有重要的意义。建立在惯性流形和近似惯性流形基础上的两重网格算法对大小涡分量的划分与非线性项和解自身的发展变化无关,从而使得大小涡分量间的相互作用关系通常都需要通过其满足的某种强耦合系统来反映。针对这个问题，本项目将充分考虑N-S方程大小涡分量之间的相互作用关系，针对不同雷诺数的N-S 方程,构造能够体现N-S 方程的非线性性质以及耗散本质的投影，该投影依赖于非线性耗散系统，其本身是对大小涡分量相互作用关系的体现，从而避免了传统方法中通过强耦合关系求解大小涡分量的问题。在此投影意义下进行大小涡分量的划分，得到具有弱耦合性质的两重网格算法。这种弱耦合两重网格算法可以用更少的计算代价得到最优逼近解，为构造和研究流体机械内部流动问题的高效算法提供理论支持。

非定常Navier-Stokes(N-S)方程是描述流体机械内部非定常流动问题的主要数学模型，因此构造和研究其高效数值方法在数学和工程实践中都具有重要的意义。我们考虑到传统意义下N-S方程解的大小涡分量的划分是基于与非线性发展方程本身无关的投影, 从而使得大小涡分量间的相互作用通常都需要通过其满足的某种强耦合系统来反映，这种强耦合特性给数值求解带来很大困难。针对这个问题，本项目充分考虑N-S方程大小涡分量之间的相互作用关系，针对不同雷诺数的N-S方程,构造能够体现N-S方程的非线性性质以及耗散本质的投影，该投影依赖于非线性耗散系统，其本身是对大小涡分量相互作用关系的体现，从而避免了传统方法中通过强耦合关系求解大小涡分量的问题。在此投影意义下进行大小涡分量的划分，得到具有弱耦合性质的两重网格算法。这种弱耦合两重网格算法可以用更少的计算代价得到最优逼近解。同时我们注意到对于不可压缩N-S方程，速度和压力耦合求解给数值模拟带来很大的困难。针对这个困难，本项目构造了一种对压力具有较高逼近精度的相容分解算法，给出基于新投影的求解不可压缩N-S方程的两重网格相容分解算法，进一步提高计算效率，给出算法的稳定性和收敛性分析，为构造和研究流体机械内部流动问题的高效算法提供理论支持。