导出范畴，稳定范畴和Koszul对偶

Derived categories were introduced by Grothendieck and Verdier in algebraic geometry. Due to the excellent works of many international leading mathematicians, the method of derived categories is nowadays one of the most important methods in representation theory and geometry. We shall use derived categories, stable categories, together with methods from combinatorics and geometry, to investigate collaboratively and systematically the following important and hot topics: graded dervied equivalences and Koszul duality, construction of derived equivalences and its relationship with stable equivalences of Morita type,and study the Morita theory for stable categories. This project will significantly benefit the study of Koszul duality, the Broue Conjecture and the study of many algebras arising from algebraic gropus and lie theory.

导出范畴是Grothendieck和Verdier在代数几何中引入的，通过众多著名数学家的发展，现已成为当今代数几何和代数表示论等领域中不可缺少的关键方法之一。本项目将利用导出范畴，稳定范畴等一系列同调代数的方法，并借鉴组合和几何方法，对分次导出等价，Phi-分次代数的Koszul对偶理论、导出等价构造以及与Morita型稳定等价的转换关系、稳定范畴的Morita理论及相关不变量等热点，前沿问题开展深层次的系统性研究，并将这些研究结果应用于Broue猜想以及代数群，李代数等领域中出现的结合代数类的研究中，有十分重要意义。

本项目主要在导出等价的构造, 导出等价与稳定等价的关系, 导出等价下的不变量等多个方面取得有很好的结果. 在导出等价的构造方面，我们给出了由逼近序列来构造导出等价的一般方法， 这个方法完整的统一了包括Auslander-Reiten序列等在内的mutation序列构造导出等价的方法. 我们还利用pullback来构造导出等价. 在导出等价与稳定等价的关系方面，我们给出一种将Morita型稳定等价提升为导出等价的约化方法. 在导出等价的不变量方面，我们证明了cellular代数之间的导出等价保持整体维数和正的支配维数， 从而计算出了q-Schur代数的每个块代数的整体维数和支配维数. 我们还给出了刻画张量代数上的Gorenstein投射模的一个一般方法.