基于信息的自适应构造逼近

在大量的理论与实际问题中，人们的任务是对某个函数或算子（称为目标函数或目标算子）进行逼近，而关于这个目标的信息了解是不完全（有时甚至有噪声污染的）。随着信息时代的到来，这个领域显得越来越重要，应用范围越来越广泛，一大批数学家投身于该领域的研究。本项目研究目标是建立基于信息的若干自适应逼近理论与算法，包括自适应逼近算法的构造与实现，逼近误差的分析与算法的优化等。主要内容有，基于函数信息对算子映像的逼近、基于函数取样对函数的稀疏逼近、基于高维空间中随机取样点的降维方法、压缩感知中确定性观测矩阵的构造等等。本项目将小波分析、统计学习理论和压缩感知的思想和方法融合起来，揭示不同学科之间内在联系。同时使得逼近论本身获得新的思想和方法，与其它学科的联系得到本质上的加强，在更广阔的范围发挥重要作用。

在大量的理论与实际问题中，人们的任务是对某个函数或算子进行逼近，而关于这个逼近对象的信息了解是不完全。构造逼近的主要内容有逼近元的构造与实现，逼近误差（在学习理论中称为“学习率”）的估计与算法的优化等。本项目主要研究在获取不完全、具有随机性的信息基础上，进行自适应构造逼近。通过四年的努力，我们基本完成了计划任务。在学习理论方面，我们建立了基于随机投影学习算法的第一个学习率；建立了基于支持向量机的排序算法学习率，推广了正则图Laplacian算法的学习率；提出和空间中最小平方正则回归算法，建立了快速学习率，结论表明好于任何单个空间的学习率；研究了一类非对称核的正则化核回归方法，通过引入了一种重加权的经验过程，我们建立了学习率；基于函数信息，构造了对Calderon-Zygmund算子自适应逼近算法，并利用极大函数建立了算法的点态收敛性。在压缩感知方面，放宽了压缩感知中基于非凸优化算法的RIP条件，研究了经典的正交匹配追踪算法在含噪声情形下稀疏支集恢复所需的条件。. 上述研究课题不少是相关方向的国际热点问题，我们所取得的成果大部分具有国际水平，有的达到国际先近水平。其中有的被他人发表在权威期刊论文中列为命题。项目组成员总共发表SCI论文18篇，被SCI引用30次。有些结果发表在Appl Comput Harmonic Anal、Journal Approximation Theory、IEEE Trans. Information Theory、IEEE Signal Processing Letters、IEEE Trans. Neural and Learning Systems和Neural Computation等权威刊物上。. 毕业博士生6人，硕士生4人。毕业博士生都从事科技教育方面工作。项目组成员多人次参加国内外学术交流。. 项目负责人获2012年度教育部自然科学二等奖1项。