实对称二次特征值反问题的理论与算法及其在二次模型修正中的应用

Real symmetric quadratic inverse eigenvalue problems (QIEPs) are a type of important inverse problems. In view of the problems of the existence and structure or parameter expression of a solution to QIEPs, and those of structure preserving and no-spill in real symmetric quadratic model updating as the application of QIEPs, this project aims to develop some new theories and numerical algorithms for real symmetric QIEPs, and some new methods and optimization techniques for real symmetric quadratic model updating. Three contents are included in this project. Firstly, some new theories on the existence and parameter expression of the solution to banded symmetric QIEPs are developed given some eigeninformation pairs. Then we study the feasibility of the potential physical system based on the mass-spring system including connectivity within the elements of the physical system and non-negativity of the physical parameters. Secondly, some new theories on the existence and parameter expression of the solution to damped gyroscopic system are developed given some eigeninformation pairs. Last but not least, for a real symmetric quadratic pencil with symmetric structure, this project aims to develop some new methods and efficient optimization techniques, which can keep the structure of the quadratic model with no spill-over. This research helps to solve the inverse eigenvalue problem and the problems related to the application field, thus promote the development of numerical algebra and vibration discipline.

实对称二次特征值反问题是一类重要的反问题。本项目针对实对称二次特征值反问题在解的存在性和解的结构或参数表达式方面存在的问题，以及实对称二次特征值反问题在二次模型修正中的应用，即实对称二次模型修正的结构保持和无溢出问题，拟发展解决实对称二次特征值反问题的新理论和数值算法，发展实对称二次模型修正的新方法和优化技术，具体研究内容包括：（1）发展给定部分特征对信息的带状实对称二次特征值反问题的解的存在性和解的结构或参数表达式理论，并以质量-弹簧系统为背景，研究潜在物理系统的可行性；（2）发展给定部分特征对信息的阻尼陀螺系统相应的实对称二次特征值反问题的解的存在性和解的结构或参数表达式理论；（3）研究实对称二次束的修正问题，发展实对称二次模型修正的既能够保持二次束的实对称结构、又满足无溢出要求的新方法和高效的优化技术。本项目的研究有助于推动数值代数和振动学科的发展。

二次特征值反问题（QIEP）是一类重要的反问题，它在应用力学、电路分析、振动声学和偏微分方程的有限元模型等领域中具有重要的应用。.本项目研究给定部分特征对信息的带状实对称QIEP和阻尼陀螺系统的实对称QIEP的解的存在性和解的结构或参数表达式，发展求解实对称QIEP新的理论和数值算法；研究新理论和算法在有限元模型修正中的应用，针对实对称二次束，发展模型修正问题的新的直接方法和高效的优化技术。主要研究成果包括：.针对具有不完全测量数据和无溢出现象的实二次模型修正问题，课题组分别给出了实二次模型修正问题的可解条件和解的参数表达式，并给出了一个求解算法。.针对对于无阻尼或阻尼的系统，研究了求解实对称二次束修正问题的新的直接方法和高效的优化技术。在此基础上，针对与实对称二次束修正问题求解过程相关的张量分解问题，提出了一种高阶张量的秩-(Lr,1,1)分解方法。.针对与二次特征值反问题相关的几种时变时滞不确定T-S模糊神经系统，先后提出了基于时滞分割方法和基于自由矩阵的积分不等式的稳定性判据。.针对与某些结构逆特征值问题的求解相关的具有张量结构的离散不适定问题，提出了一种构造具有高维正则化矩阵的全局子空间算法；提出了一种非静态投影迭代算法；进一步给出了三种不同的Krylov子空间方法。.本课题研究期间共发表期刊论文11篇（注：课题组成员的2篇SCI论文没有标注基金号），其中标注基金号的SCI期刊论文7篇，中文核心期刊2篇。研究成果先后发表在著名的国际数学类SCI期刊International Journal of Control, Automation and Systems, Numerical Algorithms, Numerical Linear Algebra with Applications，Advances in Difference Equations, Neurocomputing以及成都理工大学学报（自然科学版）上。.本项目的研究工作有利于数值代数和振动学科的发展，具有一定的理论和实际意义。