几类反二次特征值问题的数值优化方法

The inverse quadratic eigenvalue problem aims to reconstruct the physical matrices such that the updated second-order model satisfies the prescribed partial eigendata. Model updating problem is a kind of inverse quadratic eigenvalue problem. On one hand, this project will concern the numerical optimization methods for solving several structured model updating problems, which can preserve the structural properties of the original model: symmetry, definiteness, and sparsity etc., especially for the large scale problem. At the same time, we will consider the model updating problem with inexact eigendata. On the other hand, this project will concern the pole assignment problem for a second order control system by active feedback control. Based on the receptance measurements , we hope to obtain.the two norm-minimized feedback matrices and the new system can be stable.

本项目主要研究利用数值优化算法来求解带结构约束的反二次特征值问题，包括模型修正问题和二阶控制系统中的部分极点配置问题。一方面我们将研究基于精确特征信息下的模型修正问题，提出使求得的矩阵能同时满足半正定性、稀疏性、内部连通性等结构约束的数值优化算法，且当矩阵的规模较大时，算法也要同样适用；再进一步考虑基于不精确特征信息下的模型修正问题。另外一方面，我们还将研究基于响应率信息下的二阶多输入控制系统的部分极点配置问题的数值优化方法，充分利用实验测得的响应率信息求得反馈矩阵，使所得的反馈矩阵的范数最小而且保证得到的新系统的稳定性较高。

ADMM（the alternating direction method of multipliers）算法不是一个很新的算法，却是一个比较好实施的算法。因此在近期的研究当中，该算法被广泛应用于各个领域的优化问题。本项目将数值线性代数中的反特征值问题及求解满足某些条件的双随机矩阵问题，转化为数值优化问题，并利用ADMM算法来求解相应的数值优化问题。对于反特征值问题，我们研究的是基于不精确特征信息的反特征值问题，并且要求所求得的矩阵为半正定的，目前我们已经从理论上给出了应用ADMM算法求解该问题的可行性及各个子问题的求解方法，但数值实验的结果还不是很理想，需要进一步的研究。对于双随机矩阵问题，我们研究的是求解一个双随机矩阵，使求得的矩阵在F-范数的意义下与给定的矩阵最接近，且其第一行第一列的元素与给定矩阵第一行第一列的元素相等，第一行与第一列对应元素乘积的和相等。我们已经从理论上给出了该问题有解的一个充分条件，并给出了将ADMM算法应用与该问题的具体实现的步骤，及每一个子问题的解的形式，我们也进行了一系列的数值实验，数值实验的结果也验证了该算法的有效性。目前该问题的成果已经整理完成，并在投稿中。接下来，我们还会继续研究将ADMM算法应用到其他的结构矩阵（如Toeplitz矩阵等）的求解中。.另外，本项目也进行了生物模型方面的研究，考虑了二阶非线性周期系统 ，其中 为合作矩阵， 通过对该系统进行特征根分析和全局收敛性分析，得到系统局部稳定和全局收敛的充分条件，并通过编写算法做数值分析，验证了相应的理论结果，该成果发表在《应用数学学报》上。随后，我们又将该系统推广到二阶非线性反应扩散周期合作系统中，得到相应的理论结果和数值结果，并将该成果投稿到《Mathematical and Computer Modelling》中。