高阶非协调有限元的构造、收敛性分析及其应用

This project will study nonconforming finite element defined on two or three dimensional meshes which can solve second-order elliptic problems, Stokes problems and plane elasticity problems, etc. Nonconforming element pairs can produce stable numerical solution for Stokes problems since in this case the discrect LBB condition can be satisfied easily. Also nonconforming element can avoid numerical locking efficiently for plane elasticity problems. Compared to lower-order nonconforming element, it is difficult to decide their DOFs for higher-order noconconforming element. Besides, usually all the points lie in a lower-degree algebraical curve. For quadrilateral meshes or three-dimensional meshes,the numbers of DOFs are usually bigger than the dimension of polynomial space of total degree considered. In this project, we first develop a method to select DOFs and construct the corresponding shape function space by the method of algebraical geometry and computational geometry. We will enlarge the space of the shape function by rational functions or spline functions to match the degrees of freedom and pass the patch test. Besides, we will give the error estimates for second-order elliptic problems, Stokes problems and plane elasticity problems. Moreover, we also consider the computation aspect.

本项目针对二阶椭圆问题、Stokes问题及平面弹性问题中的非协调元构造问题开展理论和应用研究，主要考虑二维和三维网格上的高收敛阶非协调元的构造。非协调元构成的混合元对更容易满足LBB条件，求解Stokes问题能得到稳定的数值解；同时它还可以有效避免平面弹性问题中的数值死锁现象。相比低阶非协调元，高阶非协调元的自由度的选取更为复杂，并且对应的自由节点通常在一条低次代数曲线（面）上；对于四边形网格或三维网格，自由度的个数通常要大于相应全次数多项式空间的维数。本项目首先根据实际需要给出自由度的选取方法（特别是对三维网格），然后拟采用代数几何和计算几何中的技巧来选取形函数空间，使得与自由度的选取相匹配，并通过（广义）分片检验。利用本项目构造的非协调元求解二阶椭圆问题、Stokes问题及平面弹性问题，给出相应的误差估计和大量的数值实验。另外也考虑在构造过程中产生的实际数数值计算问题。

本项目针对二阶椭圆问题、Stokes问题及平面弹性问题中的非协调元构造问题开展理论和应用研究，主要考虑二维和三维网格上的高收敛阶非协调元的构造。本项目给出了矩形网格上的3次非协调元的构造方法，局部自由度个数仅比三次多项式空间的维数多1。对于任意四边形网格，给出了一种非参格式，跟低次的不连续元构成稳定的混合元对；为了避免非参元计算上的不便利，引入了一个新的参考单元，任意四边形都与该单元存在仿射关系，并由此给出了旋转元在四边形网格上的推广，给出了基函数的显式表达式和刚度矩阵计算公式。对六面体网格，给出了两种2次非协调元的构造方法，分别需要13个和14个自由度，并对这两种格式以及92年他人提出的一组14点元进行了理论分析并进行了数值验证。在本项目执行期间，共发表学术论文10篇，其中SCI论文7篇，另有一篇被SCI期刊接收；指导硕士研究生3名（含毕业硕士两名），联合培养博士生3名。