超导和液晶的边界层现象与强退化问题及含旋度的非线性方程组

This project is devoted to study the important mathematical problems in the physics of superconductivity and liquid crystals, and study the variational problems and nonlinear partial differential systems involving curl. The main topics include the mathematical theory of boundary layer behaviors of superconductivity and liquid crystals, the strongly degenerate limits of the energy functionals of smectic liquid crystals and of the Meissner states of anisotropic superconductors, and various boundary value problems of nonlinear partial differential systems involving curl. We study the mathematical problems associated with physical phenomena. We study existence and regularity of the solutions, and we also investigate the geometric properties of the solutions and the relations between the mathematical properties of the solutions to the underlying physical phenomena, with emphases on the mathematical similarities and connections between different areas of physics.

本项目研究超导与液晶理论中的一些重要的数学问题，相关的变分问题，以及一些含有旋度的非线性偏微分方程组。主要的研究内容包括：超导和液晶的边界层现象的数学理论、近晶相液晶与各向异性超导体Meissner态的能量泛函的强退化极限、含有旋度算子的非线性方程组的各种定解问题等。本项目结合物理现象来提出和研究数学问题，不仅研究解的存在性与正则性，更关注解的几何性质及其与物理现象的关系。本项目注重研究不同领域的物理现象所呈现出的数学相似性、共性与联系。

本项目研究超导和液晶的边界层现象与强退化问题，以及含旋度的非线性方程组。主要研究成果包括：（1）证明了3D表面超导的几何性质，证明了3维Ginzburg-Landau方程的线性化问题存在具有磁通涡旋点阵的能量最小解。（2）研究了Aharonov-Bohm磁位势对超导相变的影响，所得结果反映了超导的拓扑效应。（3）研究液晶的表面近晶相，给出了近晶相边界层的位置以及液晶序参数的凝聚性态。（4）系统论证了Meissner态数学理论中的核心结论，从而完整严格地建立了超导体Meissner态的数学理论。（5）提出并研究了非线性Maxwell-Stokes方程，系统阐述了De Rham 引理的若干种推广形式并用于研究Maxwell-Stokes方程的各种边值问题的可解性，讨论了区域拓扑对这类方程的可解性的影响。（6）提出了含有位势及拓扑参数的静磁场模型并研究了解的存在性与正则性，所得结果反映了区域拓扑对电磁场的影响。