电磁场中的超导现象的数学问题及相关的偏微分方程组

本项目研究电磁场中的超导现象的数学问题，及相关的非线性偏微分方程组。一方面我们研究超导与液晶数学理论中的非线性偏微分方程组，包括超导体Meissner态的数学问题，电流与磁场共同作用下超导相变现象的数学理论，液晶数学理论中的若干问题。另一方面我们以上述方程组为背景，系统研究含有旋度算子的非线性椭圆型与发展型偏微分方程组，研究多连通区域上的非线性偏微分方程组，建立数学理论。本项目关注非线性偏微分方程组的解的性质及与物理现象的联系，关注区域的几何与拓扑性质对非线性偏微分方程组的可解性及对解的性质的影响。我们结合物理问题研究偏微分方程组，又要对一类重要的偏微分方程组建立数学理论，以丰富偏微分方程学科的研究领域。

本项目一方面研究电磁场中的超导现象的数学理论，另一方面研究与超导与液晶等物理领域相关的非线性偏微分方程组与变分问题,特别是含有旋度算子的非线性偏微分方程组。我们结合物理现象来研究这些偏微分方程组和变分问题，研究解的性质，建立数学理论；并通过数学分析来理解物理现象。. 本项目的研究工作按计划进行。已发表论文10篇，完成4篇。. 本项目主要研究成果包括：（1）引入与一个给定向量场相关的平行偏Sobolev空间与垂直偏Sobolev空间概念，建立这些偏Sobolev空间的数学理论，并利用这个空间来研究强各向异性的近晶相液晶；（2）研究电流与磁场共同作用下超导体正常态的稳定性，得到了临界电流，并得到超导态的边界层性质；（3）系统研究了几类典型的含有旋度算子的非线性方程组，包括Born-Infeld模型、非线性Maxwell方程组、拟线性退化方程组，建立了关于解的存在性、正则性、解的性质的基本的数学理论。. 本项目研究工作的科学意义是：（1）本项目结合物理问题研究偏微分方程组，关注非线性偏微分方程组的解的性质及与物理现象的联系，具有明确的科学背景与实际意义；（2）本项目对一类重要的偏微分方程组建立数学理论，关注区域的几何与拓扑性质对非线性偏微分方程组的可解性及对解的性质的影响，研究成果丰富了偏微分方程学科的研究领域。