基于微分方程模型的介质成像和图像处理的数值方法

The efficient schemes for media imaging and image processing are important research areas in modern scientific computations. From the mathematical points of view, these problems belong to the categories of inverse and ill-posed problems for mathematical physics. Based on our previous researches on inverse problems and imaging process, this project covers three research areas arising in media imaging and image processing: reconstructions for complex media based on the wave scattering models; biomedical imaging based on the elliptic equation in divergence form; and numerical schemes of image process from the PDE model of fractional order. All these problems are related each other in the framework of inverse problems for PDEs, with the key problems that the regularizing image models with efficient implementation schemes are required in the cases of insufficient and noisy input data. This project will provide appropriate mathematical models with efficient numerical schemes for many important applied problems in nondestructive detection, biomedical imaging, dynamic image processing. Under the support of this project, younger resarch teams in the areas of media imaging with international peer-view are educated.

介质成像和图像处理的有效数值方法是现代计算数学的一个重要研究领域，数学上它可以归结为数学物理反问题和不适定问题的研究。本项目以课题组已有的反问题和图像处理的研究工作为基础，研究下面三个方面的内容：以声波和电磁波的散射为基础的散射体成像的数学模型和数值实现；以散度型椭圆方程为模型的生物介质成像的数值方法；以分数阶偏微分方程为模型的图像处理的数值方法。这三方面内容在微分方程不适定问题求解的框架下彼此关联，核心的问题都是在数据不足和噪音数据的情形下建立成像的正则化方法模型和高效数值方法。项目的研究将为介质的无损检测和目标探测、生物图像处理、实时三维人脸表情重建等图像处理领域建立合适的数学模型并提供坚实的数学分析基础，进而提供有效的数值实现方案和具体的软件实现，并将算法应用于具体的工程成像领域。依托此项目，培养一支高水平的位于国际前沿的可计算建模和科学计算的学术团队。

基于偏微分方程模型的介质成像和图像处理的数学理论和方法的研究，是现代科学工程领域的一类重要的计算和建模问题。这类问题在地质勘探、大气预报、无损检测、医学成像、动态监控等领域具有及其重要的意义。数学上的难点在于它们是一类大规模的(非线性)不适定问题的建模与计算，需要集成不同数学领域的知识协同解决。..本课题主要研究了基于波场散射的复杂散射体的边界成像和内部成像；基于核磁共振噪音测量数据的生物组织电阻抗成像；基于抛物型方程和时间分数阶慢扩散过程的介质边界源、内部源和初始源成像；基于积分方程模型的工业过程内部介质成像；基于人脸表情识别的情绪刻画(成像)等重要问题。我们把上述问题统一在不适定问题的稳定求解的框架下解决，提出了系统的建模和求解策略，包括正则化解的构造、正则化参数的选取、正则化解的收敛速度和误差估计、数值实现等核心求解方案，开展了从建模、分析到计算的系统研究。..对复杂介质的逆散射，研究了带有斜导数的散射体成像问题，建立了Green函数的共轭对称性和广义互易原理，发展了散射体的线性抽样等成像方法；为了保证成像方法的有效性，研究了相应的透射特征值问题，解决了声波和电磁波散射的特征值的刻画和计算问题。对抛物型方程和时间分数导数描述的扩散过程，在建立了正问题稳定求解方案的基础上，研究了利用更符合工程背景的非局部测量数据重建不同类型源的问题，借助于解析延拓、正交展开、优化等方法系统给出了各类正则化解的分析和数值实现。对核磁共振噪音数据成像问题，对调和算法给出了系统的收敛性分析和误差估计。对基于人脸表情观测的情绪识别，我们提出了基于任务级联的系统识别方案，相关成果已申请国家专利。对随机框架下的反问题，建立了随机的正问题替代模型，并提出了基于广义多项式的优统计配置算法。..整个课题完成高水平学术论文19篇，超过计划预期目标。.