含间断项的双曲型方程的全局解研究

This project is about a class of nonlinear hyperbolic equations with doubling discontinuous source term. Our equations are simplified from chemical combustion models by special iterative method. They are very different from the equations that are researched in many previous papers. Our source term includes not only the discontinuous part with respect to space variable, but also the discontinuous part with respect to unknown U. Therefore it is called doubling discontinuous source term. The discontinuities result from variation of external environment and mutation of the internal chemical properties of the flow itself. .Research on the global solutions of such new equations is an innovation in our project. Firstly, due to the effect of doubling discontinuities, the problems become more difficult than the continuous ones. Singularities from our equations cause diversity of elementary waves, complexity of interaction of waves and new structures they evolve. However some important estimates in classical theory do not hold anymore. So we have to deduce new estimate, stability and asymptotic behaviour again. Secondly, all the conclusions of our project play an critical role in further research on combustion models. Employing our iterative method on these conclusions, we may solve the well-posedness problems of Majda models and ZND models. Research on the class of hyperbolic equation have great theoretical and applied significance .

本项目旨在研究一类含双重间断源项的非线性双曲型方程及方程组。这类方程是我们利用迭代方法从化学燃烧模型中简化得到的。它与以前文献所研究的方程不同，源项除了关于空间变量间断之外，还关于未知函数U间断，即双重间断项。这种间断的成因一方面来自于外界物理环境的改变，另一方面来自于流体自身化学性质的突变。.对这类新型双曲问题的全局解的研究是本项目的新意所在。首先，在双重间断效应下，该问题比前人已有的研究具有更大的技术难度。方程的奇性增大使基本波的类型更多样，波之间的相互作用更复杂，会演化出新的几何结构。而且经典理论中的一些重要估计可能不再成立。我们需要建立新的估计，重新验证解的稳定性以及大时间渐近性态。其次，该课题的成果对燃烧模型的研究有着至关重要的作用。通过我们提出的迭代收敛方法，有助于全面解决Majda模型与ZND模型的适定性问题。总之，此类方程的研究有着极大的理论意义与应用价值。

本课题以Chapman-Jouguet燃烧方程为研究对象，探索了含未知函数的间断源项的双曲型偏微分方程全局解问题。它是由含源项的Euler方程和化学反应速率方程耦合而成。双曲型方程的解本身就存在爆破的可能，再加入间断源项给问题的求解带来了极大的困难。.我们先研究了多方气体在一维激波管中的黎曼初值问题，成功得到了黎曼问题的所有解。燃烧方程和Euler方程类似，当初值左右两侧速度差距很大时，方程存在含真空态的L-infinity无界的分片光滑解。此时不会发生燃烧现象。只要两侧速度差不大，满足Smoller提出的条件，都能求出L-infinity有界解。为了充分研究气体温度对燃烧波的影响，我们将解曲线直接放在u-p-tau空间中分析。证明了当束缚能很小时，DT和DF曲线只有一部分能够高于燃点。 当左状态对应的CJDT或CJDF点的温度低于燃点时，DT或DF曲线是不能连接第三族稀疏波曲线的。这一现象与前人的研究是不同的。这种情况下大部分初值解曲线只存在唯一交点，不存在三解比较问题。针对其他文献提出的解唯一性准则。我们给出新的判定条件：物理解是所有解中燃烧波波速最小的。这一新的定解原则，更加简洁，有利于对柯西初值问题的研究。