在一般函数空间中的随机采样和重构及其应用

Sampling is a basic problem in signal processing, which usually refers to the process to reconstruct the continuous signal in signal space from discrete sampling values on a countable set. Sampling can be divided into random sampling and non-random sampling, and non-random sampling can be further divided into uniform sampling and non-uniform sampling. In the same time, signal space can be divided into deterministic signal space and nondeterministic signal space. Previous research only focused on some special one dimensional function space, but when it comes to high dimensional space or more general signal space, many problems have not been solved on non-uniform weighted average sampling, especially on reconstruction algorithm. In addition, although there have been many algorithms about sampling and reconstruction of function, few researches involve random sampling and signal recovery with noise, which is not rare in practical application. In this project, we will study random sampling and reconstruction algorithm with noise in general function space, and construct new mathematical models of random sampling and reconstruction. In a word, not only this project is a great challenge in the study of wavelet analysis, application harmonic analysis and approximation theory, but also we believe that there are promising applications in the future.

采样问题是信号处理中的一个基本问题，它一般指从一个可数集 上的离散采样值 重建信号空间中的连续信号 。采样方式可分为随机采样和非随机采样两种，后者又分为均匀采样和非均匀采样两种。信号空间可分为确定性信号空间和非确定性信号空间。现有研究集中在一维函数空间而且只是局限于某些特殊的函数空间，关于高维空间和更一般的信号空间，加权平均的非均匀采样特别是重建算法，还有大量问题亟待解决。另外，虽然已有很多函数的采样与重构恢复算法，但对有噪音情形的随机采样及信号恢复却鲜有研究，而这种情形在实际应用过程中又经常会遇到。本项目将研究一般函数空间中的带噪声的随机采样与重构算法及应用等问题，将建立起新的随机采样和重构的数学模型。这个问题是在小波分析、应用调和分析和逼近论理论研究中具有很强的挑战性，同时也具有重大的应用前景。

采样问题是信号处理中的一个基本问题，它一般指从一个可数集上的离散采样值重建信号空间中的连续信号。采样方式可分为随机采样和非随机采样两种，后者又分为均匀采样和非均匀采样两种。信号空间可分为确定性信号空间和非确定性信号空间。现有研究集中在一维函数空间而且只是局限于某些特殊的函数空间，关于高维空间和更一般的信号空间，加权平均的非均匀采样特别是重建算法，还有大量问题亟待解决。另外，虽然已有很多函数的采样与重构恢复算法，但对有噪音情形的随机采样及信号恢复却鲜有研究，而这种情形在实际应用过程中又经常会遇到。.本项目的研究完成了多种信号空间中的模型建立，如有限多生成平移不变空间、有限更新率信号空间、一般多元三角多项式空间等，并给出相应的随机采样和重构算法。同时，我们提出了正交多匹配追踪（OMMP）算法，此算法比原来的正交匹配追踪有着更好的恢复性能。其次，我们建立了误差模型，对存在一般噪音信号的随机采样与重构算法进行误差分析，研究了等测度划分下具有独立和有界噪声的采样差异界。最后，我们将所得算法应用于实际领域中，如利用现实数据模拟数值实验等。