基于quantaloid-加载范畴的quantale值收敛理论

Lattice-valued convergence space plays a more important role than lattice-valued topological space in topology on lattice since it has more general sense than lattice-valued topological space. Recently, the researching results on the categorical foundation of fuzzy sets confirm that from a given quantale, a quantaloid can be constructed, and for a small quantaloid, a corresponding quantaloid category can be interpreted as a fuzzy set endowed with a many-valued order. Combining with the researching works of our group about lattice-valued convergences, we realize that the striving direction in the theory of lattice-valued convergences is to establish a theory of quantale-valued convergences on a fuzzy set instead of a crisp set in the way of using the theory of quantaloid-enriched category. The purpose of our program is twofold: (1) we plan to establish a theory of quantale-valued convergences, which is composed of quantale-valued generalized convergences and quantale-valued quasiuniform convergences; (2) From the viewpoint of the theory of category, the relationship among latice-valued topological spaces, quantale-valued generalized convergence spaces and quantale-valued quasiuniform convergence spaces will be established, and then we hope to confirm that quantale-valued quasiuniform convergence structures introduced in our program have more general sense than lattice-valued topologies. These results obtained in our program will offer a foundation for the development of lattice-valued convergences on a fuzzy set.

格值收敛空间因较格值拓扑空间更具一般意义而成为格上拓扑学的研究对象。近年来，模糊集的范畴论基础的最直接结果是任意quantale可诱导quantaloid、任意的quantaloid对应的quantaloid范畴可解释成具有多值序结构的模糊集。结合最近我们格值收敛理论的科研工作，我们团队认识到用quantaloid范畴的理论和方法，在模糊集上而不是在经典集合上建立quantale值收敛理论是现有格值收敛理论的努力方向。本项目的目的是：（1）建立模糊集上的quantale值收敛理论，其包括quantale值广义收敛理论和quantale值拟一致收敛理论两个部分；（2）建立格值拓扑空间、quantale值广义收敛空间、quantale值拟一致收敛空间的内在联系，并指明quantale值拟一致收敛结构是较格值拓扑更具一般意义的格值空间结构。这些研究结果将为一般模糊集上格值收敛理论的展开奠定基础。

Quantale值收敛结构是较quantale值拓扑结构更具一般意义的格值空间结构。 借助本项目, 我们用quantaloid-加载范畴的思想对quantale值收敛理论展开了探索. 首先, 在quantale与quantaloid可以相互确定和模糊集是离散的Q-范畴的观点下，作为前期基础，在模糊集的水平结构、基于模糊集上L-值等式的上下近似算子及其刻画、作为D(Delta^+)-范畴的偏概率度量空间的性质（包括完备性、形式球）和模糊集上的相对格值拓扑（RL-topology）等方面得到了若干结果。其次，在上述若干结果的基础上, 提出了三种quantale值收敛结构的概念：峰收敛（T-convergence）、基于模糊集的峰L-收敛(Top L-convergence)和基于Q-范畴的Q-收敛（Quantaloid-valued convergence）等，这些概念及其相关的结果构成了本项目quantale值收敛理论的基本理论。 第三，建立了本项目quantale值收敛与格值拓扑内在联系，发现了峰收敛结构是强L-拓扑的充分必要条件（包括Kowalsky T-对角条件和Fischer T -对角条件）、Q-收敛结构是强Q-拓扑的充分必要条件（包括Kowalsky Q-对角条件 和FischerQ-对角条件），和通过强L-拓扑获得峰L-收敛结构的方法。第四，界定了基于峰滤子（T-filter）的概率拟一致结构作为我们quantale值一致结构理论的候选空间结构，然后借助定义的柯西峰滤子对的概念建立了概率拟一致空间的完备性理论。在quantale值一致收敛方面，我们通过定义L-序(水平)一致极限空间的概念，建立了L-序水平一致极限空间范畴及其性质的系列结果。最后，建立了包括峰收敛空间范畴、峰L-收敛空间范畴和Q-收敛空间范畴的各种空间范畴。证得了峰收敛空间范畴、峰L-收敛空间范畴的笛卡儿闭性和拓扑性等好的范畴性质。此外，用范畴论方法建立了本项目各种quantale值范畴之间内在的联系。本项目获得的各种quantale值收敛结构及其理论结果大大地丰富了格值收敛领域的研究内容，同时获得的关于quantale值收敛结构的学术成果为传统收敛理论中不确定性问题的处理提供了理论支撑，创新进展以及新技术方法。