与Poisson型微分算子相关的加权Besov空间理论研究

The theory of Besov spaces plays an important role in the study of approximation of functions and regularity of solutions to partial differential equations. Recent years, Besov spaces associated with operators have been paid extensive attention and become a hot issue in harmonic analysis. .This topic focuses on differential operators whose heat kernels satisfy an upper bound of Poisson type and lack of classical Lipschitz smoothness. For these class of operators, we want to introduce the weighted Besov spaces associated with operators and establish the real theory of the Besov spaces.Mainly by establishing proper Calderón reproducing formula and the theory of Littlewood-Paley, we will study as follow: Firstly, we want to study the basic properties, embedding theorem, norm equivalence of this weighted spaces, and study the difference between classical Besov spaces and weighted Besov space associated with operators. Secondly, we will talk about atomic and molecule decomposition of the weighted Besov spaces associated with operators. Finally, we will study the boundedness of singular integral operators associated to operators on the weighted Besov spaces. The results will extremely richen the theory of functional spaces and the theory of singular integral associated with operators.

Besov空间理论在偏微分方程解的正则性以及函数逼近论的相关研究中起着非常重要的作用。近年来与微分算子相关的Besov空间受到了广泛关注并成为调和分析的研究热点。. 本项目围绕热核满足Poisson型上界估计的微分算子展开研究，该类算子的热核不再具有经典的Lipschitz光滑性。针对此类算子，引进与其相关的加权Besov空间，建立与微分算子相关的加权Besov空间实变理论。主要通过建立适当的Calderón再生公式和Littlewood-Paley理论等方法研究如下内容：1、与微分算子相关的加权Besov空间的基本性质、嵌入定理、范数等价性等，并探究它与已有Besov空间理论的异同；2、与微分算子相关的加权Besov空间的原子及分子分解理论；3、与微分算子相关的奇异积分算子在该类加权空间的有界性。研究结果将很好的丰富与微分算子相关的函数空间理论和奇异积分理论。

本项目原计划围绕热核满足Poisson型上界估计的微分算子展开研究，建立与之相关的加权Besov空间实变理论，该问题是调和分析的热点问题。经过初步研究得到了该空间的一些基本性质。同时在研究过程中通过和同行专家的交流，了解到H.-Q.Bui，T.A.Bui及X.T.Duong得到更加完善的结果：建立了与热核满足Gaussian上界估计的算子相关的加权Besov空间相关理论，其结果发表在国际知名期刊Forum of Mathematics，Sigma上。因此我们转而考虑调和分析中其他重要的函数空间的相关问题：首先，对于热核满足Gaussian上界估计的微分算子，我们主要研究与该类算子相关的乘积区域上的加权Hardy空间的原子分解理论，以及对偶空间理论。其次，对于高阶Schrödinger型算子，考虑与其生成的热半群相关的变分算子在Lp空间及Morrey空间上的有界性。最后，我们还讨论了一阶交换子在抽象Hardy空间上的有界性。研究结果丰富了与微分算子相关的函数空间理论和奇异积分算子理论。