alpha调和函数空间及相关的算子研究

本项目的课题属于多复变函数论和算子理论，并涉及数学物理中的量子化理论。我们将研究R^n中单位球上alpha调和函数、C^n中(alpha,beta) 调和函数和全纯函数空间和其上的算子理论。我们将研究实单位球上加权调和Bergman空间上Berezin变换关于指标的渐近展开，研究Hua-Kelvin变换在调和Hardy空间和调和Bergman空间上的有界性，确定其算子范数、本性模和谱半径。开展对实单位球上与 alpha-Laplacian相关的Helgason-Fourier变换的进一步研究。在全纯函数空间方面，我们主攻的问题是C^n中单位球上Bergman投影的L^p范数的确定。我们还继续开展全纯函数空间上的复合算子、Toeplitz算子和Hankel算子的研究。

我们在本项目的主攻问题，即C^n 中单位球上 Bergman 投影的 L^p 范数计算的问题取得重大进展。我们给出了Bergman投影的L^p算子范数的一个新的下界估计。作为这个结果的推论，我们否定了Dostanic的一个猜想。并且，基于这个下界估计，我们提出了自己的一个猜想。这个结果发表于著名期刊Journal of Functional Analysis。我们首次给出了Cauchy-Szego投影从单位球面上的L^p空间到Hardy空间的算子范数的一个下界估计。我们还确定了C^n中单位球上的Berezin变换的p-范数的准确值。我们建立了实单位球上一类重要积分的精确形式的Forelli-Rudin估计，这个结果也许会成为实单位球上函数论的一个基本引理。我们也研究全纯函数空间上的复合算子和Toeplitz 算子：用广义Nevanlinna计数函数给出了复合算子作用于加权Bergman空间之间时的本性范数估计；给出C^n单位球上Bergman空间之间的Toeplitz算子本性范数的一个估计。同时，我们深化了alpha调和函数的研究，建立了一些新的有趣的算子恒等式。 这些恒等式在多调和函数的加权可积性研究中将起到基本的重要性。我们已经利用这些恒等式，证明了多调和函数的“细胞分解”定理。这推广了Borichev和 Hedenmalm最近发表于Advances in Mathematics的一个工作。