多维高次有限元超收敛后处理研究

多维高次有限元的超收敛性是一个难度较大的问题。对于一维和二维有限元问题，超收敛后处理理论已相当完善。对于三维有限元问题，超收敛理论也基本建立，而对于三维以上的多维有限元问题，超收敛结果很少，更谈不上建立超收敛理论了。传统的基于剖分加密和提高多项式次数的有限元方法难以有效解决"多维烦恼"及其超收敛性问题，但解决它意义重大。因此以我们已经初步建立的多维离散格林函数理论、多维投影型插值算子理论和新引进的有限元格式（omega算法）为基础，我们提出"多维高次有限元超收敛后处理研究"的立项。本项目采用一种新的有限元格式计算高维问题，将能够获得好的计算结果，使得多维高次有限元问题的计算容易实现。此外，本项目并不旨在提供一种多维高次有限元的有效算法，而是要导出多维有限元（特别是高次元）的超收敛基本估计，并通过构造后处理算子来提高逼近解的精度，为多维有限元的自适应算法提供理论依据。

在很多领域都会用到多维有限元方法，而相关的理论研究(特别是有限元超收敛研究)成果很少。众所周知，多维有限元超收敛是一个很难的研究课题，一个重要原因是多维离散格林函数的估计不容易得到，而且一般也不能由低维离散格林函数的估计推广而得。此外，基于Lagrange函数系的插值函数和有限元解在提高多项式次数时会有Runge现象，因而也无法通过提高多项式的次数来提高精度。本项目采用Lobatto函数系构造插值函数和有限元解（所谓的omega有限元解），这种基函数系没有Lagrange函数系具有的Runge现象，因而有利于研究多维高次有限元超收敛问题。本研究的主要内容有：三维以上的多维离散格林函数的估计，多维有限元的插值基本估计，多维有限元的超逼近估计，超收敛后处理格式。本研究的重要结果有: 1. 获得了四至六维离散格林函数的最优阶估计，对于七维以上的离散格林函数，尽管获得了相应的估计，但所得估计并不是最优阶的，无法用于超收敛分析。因而，对于七维以上的离散格林函数是否具有最优阶估计，还有待于将来进一步研究。2. 利用离散格林函数的最优阶估计和插值基本估计获得了有限元的超逼近估计。3. 对于三维有限元，给出了一种后处理格式，并获得了三维有限元的超收敛后处理结果。本研究的科学意义有：为多维有限元（特别是多维高次元）的计算提供了一条切实可行的途径；将有限元超收敛理论推广到了多维情形，是有限元超收敛理论的一个很重要的组成部分；为多维自适应有限元法提供理论依据；为从事科学与工程计算的工程师们提供一种行之有效的数值算法。