三角形网格上基于水平集方法的测地曲率流研究

The geodesic curvature flow has many applications in image processing, computer vision, material sciences, etc. In this project, we will investigate the geodesic curvature flow over triangulated surfaces in computer graphics. Our project includes three parts. In the first part, we will consider the piecewise constant function space and propose a new discretization of the geodesic curvature flow in this function space. In addition, we will prove the existence and uniqueness, regularization behavior, maximum-minimum principle and analyze the limit behavior of the flow. In the second part, we will consider the active curve and narrow band technology on the triangulated surfaces. In the third part, we will apply the discrete flow in digital geometry processing. The applications include closed curve evolution on surfaces and multi-region segmentation. A new algorithm, which uses one level set function for multi-region segmentation, will be proposed. The problems involved in this project are important. The successful implementation of this project will contribute new work in geometry modeling and computing and promote the cross and development of computer graphics, computer vision and scientific computing.

测地曲率流被广泛应用在图像处理、计算机视觉和材料科学等领域。随着测地曲率流在图形学中应用的日益丰富和活跃，在三角网格上开展测地曲率流研究的需求也日益迫切。本课题将利用分片常值函数空间，在三角网格上开展测地曲率流的研究。研究内容分为三部分。第一，三角网格上测地曲率流的离散格式研究。具体包括，三角网格上分片常值函数空间研究；测地曲率流离散格式推导和理论属性证明；测地曲率流稳定状态分析。第二，三角网格上活动曲线和窄带技术的研究。第三，离散测地曲率流在数字几何处理中的应用研究。具体包括，曲线在曲面上的运动和曲面网格多区域分割。本课题属于计算机科学和数学的交叉学科，首次在三角网格上提出用单个水平集函数解决网格多区域分割问题的算法。课题的三个内容紧密关联，它们的解决能为几何建模和计算提供崭新的思路和方法，力争促进图形学、计算机视觉和计算数学学科方向的交叉与发展。

随着三维扫描设备的不断发展，三角网格数据的获取更加的便捷。网格数据可以形象地给我们呈现各种不同的目标物体，被广泛运用于测绘科学、地物探测、影视动画、虚拟现实、文物修复等众多领域。然而，由于受到扫描设备精度、环境光照、扫描目标材质、重建算法误差等因素的影响，通过扫描获取的三角网格数据都有噪声。从含有噪声的三角网格曲面中恢复高质量网格曲面是数字几何处理中的一个基本问题。为了获取高质量三角网格数据，我们首先研究了分片常值函数空间中的高阶算子，及使用该算子的滤波模型和算法，获得了一系列的成果；然后我们在三角网格上建立了边函数空间，且和分片常值函数空间结合，提出了Mumford-Shah模型的一种崭新离散格式，并将其应用在抗噪音网格优化问题；最后，我们将提出的高阶算子扩展到了点云，并提出了一种保几何特征的点云去噪框架。