等离子体物理中的辛算法与平均方法

To further improve the conservation and efficiency of long-term simulation for plasma physics problems, it is necessary to study intensively the applications of symplectic algorithms and averaging method to plasma physics. We will apply symplectic algorithms and averaging method to charged particle systems, guiding-center systems and Vlasov-Maxwell equations. The proposed investigation includes: 1) Construction of K-symplectic algorithms for equations of single particle motion and guiding center motion of magnetized plasma by using generating function technique and splitting technique, and corresponding long-term numerical simulation; 2) Derivation of the first-order and higher-order averaged systems for single particle motion of magnetized plasma via coordinate transformations, and investigation of the relationship between an obtained averaged system and the guiding center system; 3) Averaged solutions of Vlasov-Maxwell equation obtained by using Heterogeneous multi-scale method and stroboscopic averaging method, and global error estimate between an averaged solution and the true solution.

为进一步拓展先进几何算法和平均算法的应用广度，以及提高等离子体物理问题模拟的准确性、长期守恒性以及高效性，需要我们深入研究辛几何算法与平均方法在等离子体物理中的应用。本项目计划将辛几何算法与平均方法应用于等离子体物理中的粒子系统、导心系统以及Vlasov-Maxwell方程中。计划研究的内容包括：1) 对磁化等离子体单粒子运动方程和导心系统运用生成函数方法和分裂方法构造K辛算法并进行长时间数值模拟; 2) 通过坐标变换得到磁化等离子体单粒子运动的一阶和高阶平均系统，并探讨该平均系统与导心系统的关系; 3) 基于非均匀多尺度方法和频闪观测平均方法，求出Vlasov-Maxwell方程的平均解，同时给出所得平均解与真实解的全局误差估计。

本项目深入研究了辛几何算法与平均方法在等离子体物理中的应用，将辛几何算法与平均方法应用于等离子体物理中的粒子系统、导心系统以及Vlasov-Maxwell方程中。同时，我们还研究了动力系统的保结构神经网络这一最新的前沿问题，提出了保持辛结构的神经网络，证明其逼近定理；并给出了辛矩阵的单位分解定理。