不变量理论中若干组合问题的研究及其应用

Some combinatorial problems in the invariant theory, such as the calculations of the Noether number and Poincare series, are closely related to the combinatorial number theory in recent studies. In this research project, we will focus on employing some techniques from combinatorial number theory to determine the Noether number in the invariant theory; employing some algebraic methods from the invariant theory, such as Poincare series, together with tools from the representation theory to study the classical zero-sum problem in combinatorial number theory; utilizing the connection between zero-sum problem and coding theory to study some intersectional problems.

不变量理论中的一些组合问题，比如Noether常数与Poincare级数的计算，在近期的研究中与组合数论产生了密切的关联，是近期这一交叉方向的研究热点。本项目主要侧重于利用组合数论中的一些方法和技巧，来研究不变量理论中的Noether常数；利用不变量理论中的代数方法，比如Poincare级数，结合群表示论的工具进一步的研究组合数论中经典的零和问题；利用零和问题与编码理论的联系，解决一些这两个方向的交叉问题。

不变量理论主要研究一个群作用在某种多项式代数上的不变子代数的性质，它起源于Hilbert, Noether等人的经典工作，在现代的研究中，与组合学，数论，表示论，符号计算，几何学等有着丰富的交叉。本项目主要研究不变量理论中的一些组合问题，以及一些与群环，代数编码有关的问题。首先，我们利用不变量理论中的方法（Molien定理等）给出了有限交换群零和序列的计数公式M(G,k)的一个简单证明。同时发现了有限交换群之间的一个互反律|M(G,|H|)|=|M(H,|G|)|，进而给出了有理Catalan数的一个新的组合解释。其次，利用不变量理论的工具（Poincare级数），提出了有限群的一个关于给定阶数元素个数的刻画问题。利用群论和组合分析发现了一个非平凡的对称性结论，其说明在两个有限交换群之间，一个不变量理论的计数结论可以等价于一个关于群结构的结论。然后，在群环理论方面，研究了群环的*-clean问题，完整刻画了一类群环的*-clean性质。将结果与编码理论相联系起来，构造了一些LCD和自正交的编码。研究了von Neumann代数的*-clean性质，部分回答了T.Y. Lam提出的一个公开问题。最后，在代数编码方面，构造了一类新的near MDS码，进而得到了许多新的NMDS self-dual码以及NMDS LCD码。