现代分析技术与偏微分方程分析（续）

Since we obtained a series of important achievements and the accumulation of knowledge in our previous projects, in this project, we will apply the modern analysis techniques, which included harmonic analysis, paradifferential calculus, semilinear analysis which connect to vecter fields and normal form and multi scale method to study the local and global wellposedness of the dispersive equations, like wave equation which included the Klein-Gordon, and the Schrodinger equations, on the Euclidean space or Compact Manifolds. We will use the operator spectrum analysis technique to study the relationship between the geometric properties of the bi-characteristic set of equations and the decay properties of the solutions, in particular, the weighted Strichartz estimates, the optimal growth order estimate of the solutions with some suitable Sobolev type norm. Use the mutiscale analysis technique to study the global solution of the supercritical equations. Continue to study the relationship between the local (global) existence of solutions and some properties of the system, such as the nonlinearity of the equation, the regularity and decay property of the initial data, etc. and continue to study the breakdown or the long time behavior of the solutions. Also, continue to study the relationship between the function space (or regularity) of the initial data and the global wellposedness of the Cauchy problem of the axisymmestric (anisotropic) incompressible NS equations、elastic equations and the related complex fluids mordel.

鉴于我们在先前的项目中已经取得了一系列的重要成果和知识积累，在该项目中我们将应用含调和分析、仿微分演算、结合向量场和法形式的半经典分析以及多尺度分析等现代分析技术重点研究全空间或紧流形上的色散型方程，如含Klein-Gordon方程在内的波动方程，Schrodinger 方程的局部与整体适定性；我们将用算子谱分析技术去探讨方程次特征几何性质与解的表示与衰减性之间的关系，特别方程解的加权估计和解对某Sobolev型范数的最优增长阶估计以及尝试利用多尺度分析技术来研究超临界方程整体解等。继续探讨方程的非线性程度、初始资料的正则性以及解的衰减性与局部和整体存在性之间的深层联系；也将继续探讨解的长时间性态和解的破裂性质等；还将继续研究与轴对称相关的不可压缩NS方程组或各向异性粘性的不可压缩NS方程组、一些弹性体模型以及与之相关的复杂流体柯西问题的整体适定性与初值空间的关系以及解的正则性等。

在该项目中我们 用用含调和分析、仿微分演算、结合向量场和法形式的半经典分析，谱分析以及多尺度分析等现代分析技术重点研究一些典型的非线性方程，取得了一系列重要结果。.我们在平坦和非平坦时空中研究了一系列典型非线性项的半线性波动方程（组）的小初值长时间存在性问题. 得到了非线性程度、初始资料的正则性以及解的衰减性与局部和整体存在性之间的深层联系，得到了一些最佳的生命区间估计和解的爆破机制和性质等。对紧流形上非线性Klein-Gordon方程，我们完成了一维球面上的一类非线性Klein-Gordon方程以及任意维数下，具有Kirchhoff型非线性项的Klein-Gordon方程，其解的几乎整体存在性。与此同时，我们还完成了针对拟周期扰动下，该方程对应Floquet哈密尔顿算子满足安德森局部化性质。针对非线性Schrodinger方程，我们探讨了解的长时间性态以及解的渐近行为。另外，我们针对一类复非线性问题构造了方程在一个给定紧集上的有限时间内爆破的爆破解。.考虑了三维Boussinesq方程组解的部分正则性。得到了一个适当弱解的局部Höl der连续性指标，并且证明奇异点集合的一维Hausdorff测度是零。相比Boussinesq方程组，MHD系统更接近Navier–Stokes系统。也探讨了轴对称问题解的正则性判别准则。.对于等熵可压缩Navier-Stokes方程的整体适定性问题，我们的研究发现在低频时，单参数变换群 的色散效应可以起到一些关键作用，使得我们构造的解的初始速度允许在低频集中，而且初始速度的位势部分的一些临界范数可以任意大。注意到粘弹性流体和等熵可压缩Navier-Stoke方程同为双曲——抛物耦合系统，它们在结构上有一定的相似性.将色散效应用到双曲——抛物耦合系统的整体适定性研究，我们也考虑了粘弹性流体解的整体适定性问题。.对于三维轴对称不可压缩Navier-Stokes方程组的柯西问题，继我们发现了一个新的守恒律， 并利用这一重要发现得到了旋转速度在临界空间中的正则性指标之后。我们又进一步地得到了一些更深入细致的正则性判别准则。 .我们还探讨了一些其他的相关问题。