现代分析技术与偏微分方程分析

Since we obtained a series of important achievements and the accumulation of knowledge in our previous projects, in this project, we will continue the application of the geometry and modern analysis techniques, and stochastic analysis methods to study the wellposedness of the wave equation on the Euclidean space or Compact Manifold, the Schrodinger equations, fluid or complex fluid equations, etc. We will study the relationship between the geometric properties of the characteristic set of equations and the decay properties of the solutions, in particular, the weighted Strichartz estimates, the optimal growth order estimate of the solutions with some suitable Sobolev norm, using the operator spectrum analysis technique to construct the solution of the supercritical equations. Continue to study the relationship between the local (global) existence of solutions and some properties of the system, such as the nonlinearity of the equation, the regularity and decay property of the initial data, etc. Continue to use the concentrated compactness methods to study the breakdown or the long time behavior of the solutions. Continue to study the relationship between the function space (or regularity) of the initial data and the global wellposedness of the Cauchy problem of the (anisotropic) incompressible NS equations. Study the incompressible limit problem of the compressible NS system. Study the global wellposedness of the Cauchy problem of the density-dependent geophysical equations in the appropriate framework.

鉴于我们在先前的项目中已经取得了一系列的重要成果和知识积累，在该项目中我们将继续应用几何与现代分析技术以及随机分析方法等来研究欧氏空间或紧流形上的波动方程，Schrodinger方程以及流体或复杂流体方程组等的适定性问题。探讨方程特征集的几何性质与解的衰减性之间的关系，特别方程解的加权Strichartz估计以及解对某Sobolev范数的最优增长阶估计，利用算子谱分析来作出超临界方程整体解的构造等；继续探讨方程的非线性程度、初始资料的正则性以及解的衰减性与局部和整体存在性之间的深层联系；也将继续用集中紧原理研究解的长时间性态和解的破裂性质等；还将继续研究不可压缩NS方程组或各向异性粘性的不可压缩NS方程组的柯西问题等的整体适定性与初值空间的关系以及解的正则性的判定等问题，研究可压缩系统的不可压缩极限等。在合适的框架下研究密度变化的地球物理方程组的柯西问题的整体适定性等。

继引入角变量给出了一个最优的加权Strichartz 估计，成功地证明低维低正则Strauss想之后。我们证明了2维端点广义Strichartz估计，得到了2维三次半线性波动方程的低正则小初值几乎整体适定性，还解决了2维临界低正则Glassey 猜想。我们的工作引起了国际著名数学家Lindblad，Smith，Sogge 等的关注，在各种时空流形中的Strauss 猜想、Glassey 猜想等领域引发了一系列重要研究成果。.对于一维环上的周期区域上带时间周期位势的线性Klein-Gordon方程，用多次度分析方法证明了它的Anderson局部化，进而得到解的Sobolev范数关于时间的一致有界性。.对于Schrodinger方程，我们在非线性正则性较低情形，继证明了当 0 < s < 1时，Hs空间的连续依赖性之后，我们研究1<s<2 的情形，克服低正则非线性所带来的诸多困难，首次成功地将不动点理论用到含分数次导数的函数空间得到了局部适定性。我们发现两个解的差关于时间具有更好的可积性，并将此转化使得关于空间有更好的正则性，充分结合Schrodinger方程解的性质，并在处理临界情形我们还首次利用了高低频分解的方法,克服了非线性项正则性不足所带来的困难，极大地推进了解的无条件唯一性研究的进展。在解的无条件唯一性方面取得了重要的长足进展。还解决了一个上世纪80年代遗留的H^2临界问题和一类含随机耗散和时间震荡非线性项的薛定谔方程。.对于三维轴对称不可压缩Navier-Stokes方程组的柯西问题，发现了一个守恒律，利用这一重要发现得到了旋转速度在临界空间中的正则性指标(与已有的守恒量$ru^\theta\in L^\infty_{tx}$ 很接近)。并进一步研究了变密度系统关于小初始旋转速度的整体适定性，并得到了速度旋转速度具有更快衰减率估计。.我们利用现代分析的工具，对于不可压复杂流体的Oldroyd-B模型的外问题取得了耦合参数不小情形的整体存在性。对于可压缩模型得到了局部强解以及Blow up 判别准则。另外，我们还研究了密度依赖的不可压粘弹性流在临界空间中的整体存在性等问题，带科氏力项的三维经典不可压缩Navier-Stokes方程组的柯西问题，具有超临界耗散的二维不可压缩推广的Boussinesq系统等也取得了许多结果。