中立型泛函微分方程的多参数分支研究

Neutral functional differential equations are used a lot in the fields of control theory, ecology and other related subjects because both historical state and its variation are considered in the models. Theoretically, they are extensions of retarded functional differential equations. Because of the introduced time delay and neutral terms, quite rich dynamical behaviors appear. Meanwhile, due to the attention that people investigate the effect of several parameters, multiple-parameter bifurcations are particularly important issues. This proposal aims to improve the theory for analyzing the bifurcations of high codimension with the variation of multiple parameters, by using the theory of semi-group of operators, formal adjoint theory, center manifold theorem, normal form method, calculation by multiple time scales, symbolic computation and numerical simulations, and to use computer programs to obtain the universal derivations. After deducing and investigating the normal forms at these bifurcations, the complete bifurcation behaviors near the singularities are obtained. Furthermore, we apply these results to the bifurcation analysis of some neutral equations with multiple parameters and practical background, hence to predict or interpret the complicated phenomena such as the coexistence of several periodic orbits, invariant torus, homoclinic orbits, heteroclinic orbits and chaos. The research of this project will not only enrich the results of dynamical systems, but also has direct practical values.

中立型泛函微分方程在理论上可看成是滞后型泛函微分方程的推广,由于考虑了历史状态及其变化率对当前状态的影响，这类方程在控制、生态等领域都有广泛应用。因为时滞及中立项的存在,系统出现了极其复杂的动力学行为，同时，在实际问题中需研究多个参数对系统的综合影响，所以其多参数分支分析尤为重要。本项目主要研究中立型方程中多个参数共同变化时出现的高余维分支问题,借助算子半群理论、泛函微分方程形式伴随理论、中心流形定理，发展和推广规范型方法，结合多时间尺度计算、计算机符号推导工具和数值仿真,完善中立型泛函微分方程高余维分支分析的理论,并用计算机实现通用的推导过程，得到分支点附近完整的动力学行为。进一步，将这些多参数分支分析结果应用到具有实际背景的中立型方程的分支研究中，预测或解释系统中的多周期轨共存、不变环面、同宿轨、异宿轨和混沌等复杂现象。该项目的研究既可丰富动力系统分支理论，又能直接应用到实际问题中。

中立型泛函微分方程可以看成是滞后型泛函微分方程的推广，它在生态学、经济学、物理学、生物数学模型中有广泛的应用。研究此类方程的多参数分支可以对系统中产生的多稳态共存现象、周期拟周期振动现象、同（异）宿轨现象甚至混沌现象给出理论解释。.本项目针对中立型泛函微分方程的高余维分支进行了研究，理论上推广了有关滞后型泛函微分方程的研究结果，得到了中立型泛函微分方程在双Hopf分支、等变Hopf分支、Bautin分支和Bogdanov-Takens分支点附近的规范型。通过分析规范型，得到了分支点附近系统的动力学行为。.本项目主要得到以下研究结果：.第一，针对一类带有中立项的食饵捕食者模型，研究了中立项的系数和时滞对系统动力学行为的影响，给出了系统产生Hopf分支和双Hopf分支的条件，理论上得到了系统中产生的拟周期振动现象。.第二，针对具时滞的耦合Kuramoto模型，研究了时滞和耦合强度为参数的分支行为。发展O-A流形约化方法将系统约化为时滞微分方程，系统的同步行为可以由约化方程产生Hopf分支来刻画。通过研究约化方程的Hopf分支，对耦合Kuramoto系统中的迟滞回线现象和同步态共存现象给出了理论解释；通过研究约化方程的Bautin分支，得到了系统中Hopf分支临界性发生转变的具体方式，得到了周期解的鞍结点分支产生的条件，发现Kuramoto模型中会出现多个稳定的同步现象共存。.第三，研究了一类带环状耦合结构和时滞效应的系统，分析了系统中的Hopf分支和等变Hopf分支的存在性及其性质，给出了系统中多个锁相振动共存的理论解释。.第四，讨论了一类带有两个不同时滞的定价模型的动力学性质，研究了系统中产生的Hopf分支现象，给出了分支性质和全局Hopf分支的存在性。.第五，讨论了一类带有离散和分布时滞的双神经元模型的Hopf-pitchfork分支，给出了系统产生分支的条件和分支点附近的规范型，从而进一步得到了分支点附近的完整动力学行为。