几类中立型随机泛函微分方程数值方法研究

随机泛函微分方程数值方法研究正处于迅速发展的阶段。但现有的大部分数值方法收敛阶不高，或稳定性条件过强，亟待对此进行更深入的理论研究。本项目针对几类伊藤(Ito)中立型随机泛函微分方程(即常延迟中立型随机泛函微分方程、中立型随机比例方程、中立型随机积分-微分方程)初值问题，拟通过比较、改写已有数值格式等方式分别建立适合于不同方程形式的数值方法(如线性多步方法、Runge-Kutta方法或组合方法等)；比较研究不同方程形式下某些数值方法的强、弱收敛性并得出其收敛阶；借助变步长策略、Razumikhin型技巧等途径研究它们的各种稳定性；结合数值算例对所得理论结果进行实证分析研究。.本项目旨在构造几种实用、高效的求解中立型随机泛函微分方程的数值方法，为随机泛函微分方程数值方法理论的进一步发展作出贡献。本项目直接或间接来源于自然科学、社会科学各领域的系统建模问题，具有重要的理论意义和广泛的应用前景。

本项目主要探讨了几类中立型随机微分方程数值方法的收敛性、稳定性及其它相关问题。在基金资助之下，通过项目组成员的共同努力，完成了本项目的研究内容，达到了项目预期的目标。. （1）研究了随机微分方程1.5阶隐式随机Taylor方法的指数稳定性。首先得到了该数值方法保持解析解的几乎处处指数稳定的条件；其次证明了当0<p<2时，该方法是p-阶矩指数稳定的条件。. （2）对随机延迟微分方程，得到了Milstein方法保持解析解的p（0<p<1）阶矩指数稳定性的条件。. （3）对中立型随机延迟微分方程，探讨了解析解几乎处处指数稳定的条件，在此基础上，进一步得到了向后Euler-Maruyama方法数值解保持解析解的几乎处处指数稳定性的条件。. （4）对随机延迟积分微分方程，我们证明了在一定条件下，改进的分步向后Euler方法能保持解析解的均方指数稳定性。. （5）研究了中立型随机比例延迟微分方程半隐式Euler方法的的均方收敛性，证明了在适当条件下，半隐式Euler方法是0.5阶收敛的。. （6）研究了线性随机延迟积分微分方程一类两步Maruyama方法的均方稳定性，得到了两步Maruyama方法保持解析解均方稳定的充分条件。. （7）我们获得了优化算法研究方面一些有意义的结果。如对诸如外推粒子群算法、生物地理学算法等存在的一些不足加以改进，提出了基于正交设计的外推粒子群算法、基于正交交叉的生物地理学优化算法。将部分优化算法应用到随机问题的数值求解中去是一个值得探索的思路。. （8）在极限理论研究方面进行了探讨并取得一些成果。如得到了生存时间与删失时间为phi-混合序列的情况下，概率密度函数的核估计的Berry-Esseen界以及概率密度函数的K-M估计的r-阶相合速度。此外，还得到了光滑平稳高斯过程的几乎处处极限定理。这些成果将为数值模拟及随机微分方程的数值求解提供有价值的参考。