奇异系统对称性及其摄动理论研究

Physical systems are mostly singular systems. Because the movement of physical systems is always restricted by constraints, it is very important to analyze and process those constraints properly. Methods developed in analytical mechanics are used in this project to study the variational problems, symmetries and conserved quantities, as well as symmetrical perturbation and adiabatic invariants for the constrained Hamiltonian systems and the singular systems in field theory. And the obtained results are used for the further analysis of Dirac constraints, gauge generators and Dirac conjecture of the systems. The fractional order model is often more practical than the integer order model, consequently, based on the fractional Dirac theory, this project will investigate the fractional order constrained Hamiltonian systems and the singular systems in field theory, including the global symmetry (such as Noether symmetry, Lie symmetry and Mei symmetry), presenting the corresponding conserved quantity; the local symmetry, giving the second Noether theorem; and the symmetrical perturbation and adiabatic invariants. Time scale provides a new way to solve the complicated dynamics behaviors, therefore, based on the Dirac theory on time scales, the global symmetry, the local symmetry and the symmetrical perturbation and adiabatic invariants will be studied for the constrained Hamiltonian systems and the singular systems in field theory on time scales.

由于物理系统大多是奇异系统，其运动实际上总是受到约束的限制，因此，恰当地对约束进行分析和处理至关重要。本项目采用分析力学的方法，对约束Hamilton系统及场论中奇异系统的变分问题、对称性与守恒量、对称性的摄动与绝热不变量进行研究，所得结果用于进一步分析该系统的Dirac约束、规范生成元及Dirac猜想等。考虑到分数阶模型往往比整数阶模型更贴合实际，本项目将基于分数阶Dirac理论，研究分数阶约束Hamilton系统和场论中奇异系统的整体对称性（如Noether对称性、Lie对称性、Mei对称性），给出相应的守恒量；研究其定域对称性，给出Noether第二定理；研究该系统对称性的摄动与绝热不变量。时间尺度为解决复杂动力学行为提供了新途径，本项目将基于时间尺度上的Dirac理论，研究时间尺度上约束Hamilton系统和场论中奇异系统的整体对称性、定域对称性及对称性的摄动与绝热不变量。

奇异系统广泛存在于物理学的众多领域中，因此约束Hamilton系统基本理论的研究举足轻重。本项目主要围绕约束Hamilton系统、分数阶导数及时间尺度展开，所得结果如下。.约束Hamilton系统方面，1）建立整数与分数阶混合导数下分数阶初级约束和约束Hamilton方程，也对仅含Caputo分数阶导数的情形进行了研究。2）研究了联合分数阶导数及联合变阶分数阶导数下的Hamilton力学，包括其运动微分方程、对称性与守恒量、对称性的摄动与绝热不变量。3）研究了离散分数阶Hamilton系统动力学，建立了具有左右Riemann-Liouville型差分算子的离散分数阶Hamilton方程。.分数阶导数方面，1）研究了四种联合变阶分数阶导数和两种联合分数阶导数下的Hamilton力学和Lagrange力学，建立了分数阶运动微分方程，给出了相应的守恒量及绝热不变量，并将所得结果应用于分数阶Lotka生化振子模型和分数阶各向同性谐振子模型。2）基于广义分数阶算子，研究了Hamilton系统、Birkhoff系统和受迫Birkhoff系统的分数阶变分问题，研究了前两个系统的Noether对称性与守恒量及对称性的摄动与绝热不变量。所得结果用于研究二维各向同性谐振子模型、Lotka生化振子模型、Hénon-Heiles模型及Hojman-Urrutia模型。3）研究了两种变阶分数阶导数下的广义Birkhoff系统Noether对称性的摄动与绝热不变量。4）在有和没有动力学约束的情况下，分别建立了分数阶离散非保守系统Lagrange方程。.时间尺度方面，1）研究了时间尺度上非迁移Birkhoff系统和非迁移Hamilton系统的变分问题、Noether对称性与守恒量及Noether对称性的摄动与绝热不变量。作为特例，讨论了经典Birkhoff系统、离散Birkhoff系统、经典Hamilton系统、离散Hamilton系统和非迁移Lagrange系统的Noether定理。2）研究了时间尺度上非完整系统和广义Birkhoff系统的Noether准对称性与守恒量，研究了时间尺度上Lagrange系统、Hamilton系统和Birkhoff系统的Mei对称性与守恒量，研究了非完整系统、Birkhoff系统、Hamilton系统和Lagrange系统Noether、Mei对称性的摄动。