关于弱化希尔伯特第十六问题的研究

Hilbert's 16th problem (to find the least upper bound of the limit cycles for polynomial systems of degree n) is a very hard problem, open for more than 100 years. In 1977 Arnold proposed its week form, that is to restrict the problem in perturbations of Himiltonian systems, incuding the perturbation of Hamiltonian polynomial systems and perturrbation of integrable but non-Hiltonian polynomial systems. By taking ten years effort by many mathematicians, the problem of quadratic Hamiltonian polynomial systems under quadratic perturbations was solved in 2002. But the perturbation problem of integrable and non-Hamiltonian polynomial systems, even for n=2, is far from solved, and only few works appear for n>2 in the two cases. Working on this problem for many years, we obtained some progress on the cyclicity problem of reversible systems, which are recognized by international colleagues. We are going to study the weak form of the Hilbert's 16-th problem, try continuously to find some new methods and new techniques, try to get significant progress on perturbations of reversible systems, and to obtain results in other respects of the problem.

Hilbert第16问题（n次多项式系统极限环个数的最小上界问题）是一百多年来没能解决的重大难题之一。Arnold于1977提出它的弱化形式，即把这个问题限制到Hamilton扰动系统的范围内考虑，这包括Hamilton多项式系统的扰动，和可积非Hamilton多项式系统的扰动。在国内外数学家历经十年的艰苦工作下，二次Hamilton系统在二次扰动下的问题在2002年获得解决。但对可积非Hamilton系统的扰动问题即使在n=2的情形也远未取得突破,对n>2情况的研究在两种情况下都只有零散结果。经过多年工作，我们对二次可逆系统环性问题的研究已取得进展，并得到国际同行的认可。本项目拟以弱化Hilbert问题为目标，在原有工作的基础上继续取得研究方法与技巧上的创新，争取在可逆系统的扰动问题上取得突破，并努力在弱化Hilbert第16问题的其它方面取得较大的进展。

Hilbert第16问题寻求平面n次多项式系统可能具有的极限环最大个数和相对位置，提出一百多年来已有大量研究，但尚无大的突破。1977年Arnold提出其弱化形式，把问题限制在接近Hamilton系统的范围内。此弱化问题在n=2的情形已基本解决，Yakovenko等人对任意n用两重指数函数给出一个上界，但离问题的真正解决还有很大距离。另一方面，需要把问题扩大到接近可积系统的范围内，此时即使n=2的情形也没有完全解决。. 我们在本项研究工作中的主要结果有：（1）对某些可积系统的扰动问题，通过研究相应Abel积分的零点个数得到极限环个数的估计。（2）对n=3的某些情形进行了研究。（3）研究了一类余维3的Bogdanov-Takens分支。（4）研究弱化Hilbert第16问题的基本工具是Abel积分，其理论基础是著名的Poincaré–Pontryagin定理。我们把此定理从二维系统推广到三维系统，可用于研究某些三维系统在其二维不变流形上的周期解个数。（5）对二维奇异摄动理论中慢发散量积分这个关键公式做了改进，并用它完满地解决了一些困难的问题，包括用动力系统和分支理论的方法解决一些生物数学的问题。（6）对Lins-de Melo-Pugh猜想（Hilbert第16问题的一个著名的子问题）在n=5这一唯一没有结果的情形，给出部分结果。