带有临界指标的高阶非局部椭圆型方程的研究

Nonlocal elliptic equation is one of the most important branches of partial differential equation, and has been used widely in the areas of physics, chemistry, biology, finance and so on. This project aims to use the variational method, the critical point theory, Lyapunov-Schmidt reduction method and blow-up analysis to study the following three problems: 1.Assuming the coefficients are periodic, we will apply Lyapunov-Schmidt reduction method and Minimax technique methods to make a study on the existence, nonexistence and local uniqueness of multi-bump solutions of higher order nonlocal elliptic equations with critical Sobolev exponents. 2.Researching on the existence of positive solutions of higher order nonlocal elliptic equations with critical Sobolev exponents, equivalence properties of existence in lower dimensions and local compactness of solutions in higher dimensions. 3.When the coefficients are not constant, we will make a study on its precise blow up rates near non-removable isolated singularities of solutions of higher order nonlocal elliptic equations involving critical Sobolev exponents and also show that the solution is asymptotically radially symmetric. And then on this basis, we will spread the results to more general sets which contains more than one point...It is hoped that through the study of the above problems, we can find and propose new methods or improve the existing theories and methods to obtain a number of meaningful research results. At the same time, we hope to promote the development of the nonlinear functional analysis.

非局部椭圆型方程是偏微分方程十分重要的分支之一，被广泛地应用在物理、化学、生物以及金融等领域。本项目拟采用变分方法、临界点理论、Lyapunov-Schmidt约化理论和爆破分析方法来研究以下三个问题：1.假设位势函数具有周期性，应用Lyapunov-Schmidt约化以及极大极小化两种方法研究带有临界指标的高阶非局部椭圆型方程的多峰解的存在性、非存在性以及局部唯一性；2.研究带有临界指标的高阶非局部椭圆型问题在低维情形下正解的存在性等价条件以及在高维情形下解的局部紧性；3.当系数函数不是常函数时，研究带有临界指标的高阶非局部椭圆型方程奇异解在不可去孤立奇点附近的爆破速率以及渐近对称性。在此基础上，我们将此问题推广到更一般的不只包含单个点的集合的情况。.希望通过对上述问题的研究，发现并提出新的方法或改进现有的结论、方法，获得一批有意义的研究结果，促进非线性泛函分析的研究。

非局部椭圆型方程是偏微分方程十分重要的分支之一，被广泛地应用在物理、化学、生物以及金融等领域。我们就申请书中提出的问题进行了深入的研究，并根据研究过程中所面临的难点，对当初提出的问题进行了及时修正，目前已经取得了阶段性的成果，主要体现在以下几个方面。1、应用Lyapunov-Schmidt约化方法研究了临界高阶非局部椭圆型方程解的存在性、非存在性以及局部唯一性。2、我们利用积分方程的爆破分析理论研究了带有临界指标的高阶椭圆型方程解的紧性。3、利用爆破分析以及Pohozaev恒等式相结合的方法研究了低维临界非局部椭圆问题正解的存在性以及等价性条件。4、利用变分法以及集中紧性原理研究了研究了p拉普拉斯方程以及临界薛定谔泊松方程组解的存在性。5、利用变分法以及畴数理论研究了带有竞争位势的临界Choquard方程多重解的存在性及其渐近行为。6、我们应用有限维约化方法研究了一类具有竞争势的临界Grushin问题，构造了无穷多个多包正解。项目执行期间，项目负责人和成员展开密切合作研究，取得了良好的研究成果，发表学术论文5篇，其中SCI收录5篇。项目负责人独立培养硕士研究生3名，协助培养博士研究生3名、硕士研究生1名。上述研究内容主要用到的关键技术为变分法、畴数理论、集中紧性原理。通过对上述问题的研究，取得了相关领域理论成果，丰富和完善了偏微分方程理论的发展。研究成果综合了临界非局部椭圆型方程和非局部意义下的Choquard方程多重解的存在性及其渐近行为研究，是一个前沿的研究课题，研究成果具有一定的理论意义和应用价值。通过对上述问题的研究，发现并提出新的方法或改进现有的结论、方法，获得一批有意义的研究结果，促进非线性泛函分析的研究。